第6届全国大学生数学竞赛决赛（非数学类）真题原卷.docx

全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2015）-1

省市学校

省市学校准考证号姓名

密封线

密封线密封线密封线

题号

一

二

三

四

五

六

总分

满分

30分

12分

14分

14分

15分

15分

100分

第六届全国大学生数学竞赛决赛试卷

(非数学类,2015年3月)

得分

注意：本试卷共六大题，满分100分,考试时间为180分钟.

1所有答题都须写在此试题纸密封线右边,写在其他纸上无效.

2密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.

3当题空白不够,可写在当页背面,并注明题号.

得分评阅人一填空题(本题满分30分,共6小题,每小题5分)

得分

评阅人

极限的值是______________。

（2）设实数a≠0，微分方程的解是_______________。

（3）设矩阵,则A50=______________。

（4）不定积分dx=。

（5）设曲线积分，其中L是以为顶

点的正方形的边界曲线，方向为逆时针，则I=。

（6）设D是平面上由光滑封闭曲线围成的有界区域,其面积为A0,函数f(x,y)

在该区域及其边界上连续且0.记Jn=则极限

limJn=。

二(本题满分12

二(本题满分12分)设,j=1,2,…,n是平面上点P0处的n≥2个方向向量,相邻两个向量之间的夹角为2π。若函数

得分

评阅人

n

f(x,y)在点P0有连续偏导数，证明

全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2015）-2

三(本题满分14分)设A1,A2,B1,B2均为n阶方阵，其中A2,B2可逆。证明：存在可逆矩阵P,Q使得

PAiQ=Bi(i=1,2)

成立的充要条件是A1A2-1和B1B2-1相似。

得分

评阅人

四(本题满分14分)设p0，，且,证明收敛且求和。

得分

得分

评阅人

省市学校

省市学校准考证号姓名

密封线

密封线密封线密封线

得分五(本题满分15分)（1）将[-π,π)上的函数f(x)=|x|展

得分

评阅人开成傅里叶级数,并证明.

（2）求积分

（2）求积分du的值.

六(本题满分15分)设f(x,y)为R2上的非负连续函数,若得分评阅人2+y2≤t2f存在

六(本题满分15分)设f(x,y)为R2上的非负连续函数,若

得分

评阅人

R2f(x,y)dσ收敛于I.

(1)设f(x,y)为R2上非负连续函数收敛于I,证明极限存在且等于I.

设eax2+2bxy+cy2dσ收敛于I,其中实二次型ax2+2bxy+cy2在正交

变换下的标准型为λ1u2+λ2v2.证明λ1和λ2都小于0.