第5届全国大学生数学竞赛决赛数学类一、二年级真题.docx
第五届中国大学生数学竞赛决赛二年级试卷
(数学类2014年3月
,
?考试形式闭卷考试时间180分钟满分100分
?
题号
题号
二
三
四
五
六
总分
满分
15
15
15
15
20
20
100
得分
姓名
姓名准考证号所在院校考生座位号专业
注意1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边写在其它纸上一律无效
2.密封线左边请勿答题密封线外不得有姓名及相关标记
3.如答题空白不够可写在当页背面并标明题号
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(本题
(本题15分)设S为R3中的抛物面zx2+
y2Pa;b;c为S外一固定点满足a2+b22c过P作S的所有切线证明这些切线的切点落在同一张
得分
评阅
密封线
密封线答题时不要超过此线
平面上
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?
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?,
第1页共6页
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得分评阅二(本题15分)设实二次型fx1x2x3x4xTAx
得分
评阅
a0a;b;c;d;e;f;g;h;k皆为实数已知λ12是A的一个几何重数为3的特征
值试回答以下问题
(i)A能否相似于对角矩阵若能请给出证明若不能请给出例子
(ii)当a02时试求fx1x2x3x4在正交变换下的标准型
姓名准考证号所在院校
姓名准考证号所在院校考生座位号专业
三(本题15分)设n阶实方阵
得分
评阅人
,
?
有n个线性无关的特征向量b1b1均不为0记
WX∈Rn×njXAAX
证明W是实数域R上的向量空间且I;A;An-1为其一组基其中I
,?,为n阶单位阵
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?,
密封
密封线答题时不要超过此线
,
?
,
?,
第3页共6页
第4页共6页
四(本题15分)设fx;y为a;b?×R上关于y得分评阅单调下降的二元函数
四(本题15分)设fx;y为a;b?×R上关于y
得分
评阅
yfx;yz≤fx;zx∈a;b?
已知za≤ya求证zx≤yxx∈a;b?
五
五(本题20分)设fx是[0+∞上非负可导
函数f(0)0fx≤假设R0+fxdx收敛求证
对任意α1R0+fxdx也收敛并且
得分
评阅
?
姓名
姓名准考证号所在院校考生座位号专业
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?,
密封
密封线答题时不要超过此线
,
?
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第5页共6页
第6页共6页
得分评阅六(本题20分)对多项式f(x记df为其最大和最小实根之间的距离设n≥2为自然数求最大实数C使得对任意所有根都是实数的n次多项式fx
得分
评阅
df≥Cdf