第4届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类）.docx
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线
封
密
第四届全国大学生数学竞赛决赛试卷
（非数学类，2013）
考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分.
题号
一
二
三
四
五
六
总分
满分
25
15
15
15
15
15
100
得分
注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.
2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.
3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.
1
1、计算
2.设f(u,v)具有连续偏导数，且满足fu(u,v)+fv(u,v)=uv，求y(x)=e?2xf(x,x)所满足的一阶微分方程．并求其通解.
3.求在[0,+∞)上的可微函数f(x)，使f(x)=e?u(x)，其中
4.计算不定积分∫xarctanxln(1+x2)dx.
5.过直线z=27作曲面3x2+y2?z2=27的切平面，求此切平面的方程.
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线
封
密
得分
评阅人
二、（本题15分）设曲面Σ:z2=x2+y2,1≤z≤2,
其面密度为常数ρ.求在原点处的质量为1的质点和
Σ之间的引力(记引力常数为G).
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三、（本题15分）设
三、（本题15分）设f(x)在[1,+∞)连续可导，
评阅人
证明：limf(x)存在.
x→+∞
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线
封
密
.
得分评阅人四、（本题15分）设函数f(x)在[-2,2]上二阶可导，且|f(x)|1，又f2(0)+[f′(0)]2=4
得分
评阅人
(?2,2)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)+f′′(ξ)=0.
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五、（本题15
五、（本题15分）求二重积分
得分
评阅人
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线
封
密
.
得分
评阅人
六、（本题15分）若对于任何收敛于零的序列{xn}，
级数anxn都是收敛的，试证明级数|an|收敛.
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