第3届全国大学生数学竞赛决赛试卷部分答案（非数学类）.docx

第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷

（非数学类，2012）

本试卷共2页，共6题。全卷满分100分。考试用时150分钟。

一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.

(3)设函数f(x,y)有二阶连续偏导数,满足fx2fyy?2fxfyfxy+ffyy=0且

fy≠0,y=y(x,z)是由方程z=f(x,y)所确定的函数.求

解：依题意有，y是函数，x、z是自变量将方程z=f(x,y)两边同时对x求导

(4)求不定积分

(5)求曲面x2+y2=az和z=2a?所围立体的表面积

二讨论的敛散性，其中α是一个实常数.

三、（本题13分）设f(x)在(?∞,+∞)上无穷次可微，并且满足:存在M0，使

得f(k)(x)≤M，?x∈(?∞,+∞),(k=1,2…),且求证：在

(?∞,+∞)上，f(x)三0

四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）

设D为椭圆形面密度为ρ的均质薄板；l为通过椭圆焦点

(?c,0)(其中c2=a2?b2)垂直于薄板的旋转轴.

1.求薄板D绕l旋转的转动惯量J；

2.对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.

五、（本题12分）设连续可微函数z=f(x,y)由方程F(xz?y,x?yz)=0（其中

F(u,v)=0有连续的偏导数）唯一确定,L为正向单位圆周.试求：

解：由格林公式

又：连续可微函数z=f(x,y)由方程F(xz?y,x?yz)=0

两边同时对x求偏导数两边同时对y求偏导数

代入上式：

六、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）

(1)求解微分方程xex2

(2)如y=f(x)为上述方程的解，证明

ex2darctannx=ex2arctannx2xex2arctannxdx

=earctann?arctannξ∫2xex2dx其中ξ∈[0,1]

=earctann?arctanex2dx2=earctann?arctan

=earctann?(e?1)arctannξ

lim

n→∞

2

∫dx==ξ]其中ξ∈[0,1]