第1届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类）.docx

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2010）

一、计算下列各题（要求写出重要步骤）.

(1)求极限

计算，其中Σ为下半球面的上侧，a0.

(3)现要设计一个容积为V的一个圆柱体的容器.已知上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何

值时所需费用最少？

已知f在内满足

二、求下列极限

(1)

(2)n,其中a0,b0,c0

三、设f(x)在x=1点附近有定义，且在x=1点可导，f(1)=0,f′(1)=2.求

四、设f(x)在[0,+∞)上连续，无穷积分dx收敛.求

五、设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可微=0,f=1.证明：存在使得f存在η∈使得f′?η+1.

六、设n1为整数，

证明:方程F在内至少有一个根.

七、是否存在R1中的可微函数f(x)使得

f(f(x))=1+x2+x4?x3?x5？

若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.

八、设f(x)在[0,∞)上一致连续，且对于固定的x∈[0,∞)，当自然数n→∞时f(x+n)→0.证明:函数序列{f(x+n):n=1,2,...}在[0,1]上一致收敛于0.