第4届全国大学生数学竞赛决赛试卷（数学类）.docx
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第四届全国大学生数学竞赛决赛试卷
（数学类，2013）
考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分.
题号
一
二
三
四
五
六
总分
满分
15
15
15
15
20
20
100
得分
注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.
2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.
3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.
得分评阅人一、（本题15分）设A为正常数，直线L与双曲线x2-y2=2(x0)所围的有限部分的面积为A
得分
评阅人
(i)上述L被双曲线x2-y2=2(x0)所截线段的中点的轨
迹为双曲线.
(ii)L总是(i)中轨迹曲线的切线.
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二、（本题
二、（本题15分）设函数f(x)满足条件：
1)-∞a≤f(x)≤b+∞,a≤x≤b；
得分
评阅人
Lx-y,其中L是大于0小于1的常2)对任意不同的x,y∈a,b
L
x-y
,其中L是大于0小于1的常
数.设x1∈,令xn+1==1,2,....证明xn=x
存在，且f(x)=x.
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得分
评阅人
三、（本题15分）设实n阶方阵A的每个元素的绝对值为2.证
明：当n≥3时，2n+1n!.
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得分评阅人四、（本题15分）设f(x)为区间(a,b)上的可导函数.对x0∈(a,b)，若存在x0的邻域U使得任意的x∈U\
得分
评阅人
f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)，则称x0为f(x)的凹点.类似地，若存在x0的邻域U使得任意的x∈U\{x0}有f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)，则称x0为f(x)的凸点.
求证：若f(x)是区间(a,b)上的可导函数且不是一次函数，则f(x)一定存在凹点或凸点.
.
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得分评阅人五
得分
评阅人
矩阵,A*为A的伴随矩阵的行
列式为-12,A的所有特征值的和为1,且(1,0,-2)T为(A*-4I)x=0一个解.
试给出一正交变换使得f化为标准型.
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得分评阅人六、（本题20分）令R为实数域,n为给定的正整数，A表示所有
得分
评阅人
证明：b∈R,.