第1届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案（非数学类）.docx

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首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

（非数学类，2010）

1）求极限

2）计算，其中Σ为下半球面的上侧，a为大于0的

常数.

3）现要设计一个容积为V的一个圆柱体的容器.已知上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？

4）已知f在内满足解1）记Sn=则

2）将Σ（或分片后）投影到相应坐标平面上化为二重积分逐块计算。

其中Dyz为yoz平面上的半圆y2+z2≤a2,z≤0。利用极坐标，得

其中Dxy为xoy平面上的圆域x2+y2≤a2。利用极坐标，得

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因此，I=I1+I2=?

3）设圆柱容器的高为h,上下底的径为r，则有

πr2h=V,或

所需费用为=2aπr2+2bπrh=2aπr2+显然，=4aπr?

那么，费用最少意味着=0，也即r3=这时高与底的直径之比为

4）由sin3x+cos3x=得

二、求下列极限

n,其中a0,b0,c0.

解(1)我们有

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因此，

(2)由泰劳公式有

因此，

令上式可改写成

显然，(1+αn)1αn→e(n→+∞)，

所以，

三、设f(x)在x=1点附近有定义，且在x=1点可导，并已知f(1)=0,f′(1)=2.求

解由题设可知：

令y=sin2x+cosx，那么当x→0时，y=sin2x+cosx→1，故由上式有

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可见，

最后一步的极限可用常规的办法---洛比达法则或泰劳展开---求出。

四、设f(x)在[0,+∞)上连续，并且无穷积分dx收敛.求

解设dx=l，并令这时，并有

对于任意的y0，我们有

根据洛比达法则和变上限积分的求导公式，不难看出

因此，dx=l?l=0。

五、设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可微=0,f=1.证明：存在一个使得f存在一个η∈(0,ξ)使得f(η)=f(η)?η+1.

证明(1)令F(x)=f(x)?x,则F(x)在[0,1]上连续，且有

F(1)=?10

所以，存在一个，使得F=0，即f

(2)令G(x)=e?x[f(x)?x]，那么G(0)=G(ξ)=0。

这样，存在一个η∈(0,ξ)，使得G(η)=0，即

G(η)=e?η[f(η)?1]?e?η[f(η)?η]=0.也即f(η)=f(η)?η+1.证毕。

六、设n1为整数，

证明：方程F在(,n)内至少有一个根.

证明：因为

故有

下面只需证明即可。我们有

由此推出

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记，那么a0=1a1a2...an。我们观察下面的方阵

整个矩阵的所有元素之和为

基于上述观察，由（*）式我们便得到

n+1?,证毕.

七、是否存在R1中的可微函数f(x)使得

f(f(x))=1+x2+x4?x3?x5？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.

解不存在。

假设存在R1中的可微函数f(x)使得

f(f(x))=1+x2+x4?x3?x5。

考虑方程f(f(x))=x，

即1+x2+x4?x3?x5=x，或(x?1)(x4+x2+1)=0。

此方程有惟一实数根x=1，即f(f(x))有惟一不动点x=1。下面说明x=1也是f(x)的不动点。

事实上，令f(1)=t，则f(t)=f(f(1))=1,f(f(t))=f(1)=t，因此t=1。如所需。记g(x)=f(f(x))，则一方面，[g(x)]=[f(f(x))]?g(1)=(f(1))2≥0；

另一方面，g(x)=(1