第4届全国大学生数学竞赛预赛试卷评分标准（数学类）.docx

1

试题解答

1:15分)设Γ为椭圆抛物面z=3x2+4y2+1.从原点作Γ的切锥面.求切锥面方程.

解答:设(x,y,z)为切锥面上的点(非原点).存在唯一t使得t(x,y,z)落在椭圆抛物面上(5分).于是有tz=(3x2+4y2)t2+1,并且这个关于t的二次方程只有一个根(10分).于是,判别式

?=z2?4(3x2+4y2)=0.这就是所求的切锥面方程(15分)□

2:15分)设Γ为抛物线,P是与焦点位于抛物线同侧的一点.过P的直线L与Γ围成的有界区域的面积记为A(L).证明:A(L)取最小值当且仅当P恰为L被Γ所截出的线段的中点.

解答:不妨设抛物线方程为y=x2,P=(x0,y0)(1分)P与焦点在抛物线的同侧,则y0x2分)设L的方程为y=k(x?x0)+y0.L与Γ的交点的x坐标满足x2=k(x?x0)+y0,有两个解x1x2满足

x1+x2=k,x1x2=kx0?y0

6分)L与x轴x=x1,x=x2构成的梯形面积D=

抛物线与x轴x=x1,x=x2构成区域的面积为∫12x2dx=?x)8

分).于是有

36A(L)2=(x2?x1)6=((x1+x2)2?4x1x2)3=(k2?4kx0+4y0)3

(12分),等式成立当且仅当A(L)取最小值,当且仅当k=2x0,即x1+x2=2x015分)□

3:10分)设f∈C1[0,+∞),f(0)0,f′(x)≥0?x∈[0,+∞).

已知∞dx+∞,求证∞dx+∞.解答:由于f′(x)≥0,有

1分).取极限

8分).故由已知条件有

10分)

4:10分)设A,B,C均为实n阶正定矩阵,P(t)=At2+Bt+C,f(t)=detP(t),其中t为未定元,detP(t)表示P(t)的行列式.若λ为f(t)的根,试证明:Re(λ)0,这里Re(λ)表示λ的实部

解答:设λ为f(t)的根,则有detP(t)=0,从而P(t)的n个列线性相关.于是存在α0使得P(λ)α=0,进而α?P(λ)α=0.4分)

具体地,

α?Aαλ2+α?Bαλ+α?Cα=0.

令a=α?Aα,b=α?Bα,c=α?Cα,则由A,B,C皆为正定矩阵知a0,b0,c0,且

6分).注意到,当b2?4ac≥0时√从而

.当b2?4ac0时,√,从而Reλ=?b/2a0.□

已知0aixi,|x|1,n为正整数解答:由于Σ恰为展开式中xn?1的系数(2分),而

2

其xn?1项系数等于

的xn?1项系数(6分),也就等于

的xn?1项系数,它等于

故有

10分)□

:?5[0分,1],n,dx=0,且f′(x)

解答:由于f(0)=f(1),故存在c∈(0,1)使得f′(c)=0(2分).又f′(x)1,由导函数介值性质恒有f′(x)14分).令g(x)=f(x)-x,则g(x)为单调下降函数(6分)故

12分).于是有

15分)

3

7:25分)已知实矩阵.证明:

(1)矩阵方程AX=B有解但BY=A无解的充要条件是a2,b=4/3;

(2)A相似于B的充要条件是a=3,b=2/3;

(3)A合同于B的充要条件是a2,b=3.

解答(1)矩阵方程AX=B有解等价于B的列向量可由A的列向量线性表示,BY=A无解等价于A的某个列向量不能由B的列向量线性表示(2分)对(A,B)作初等行变换:

知,B的列向量组可由A的列向量线性表示当且仅当a26分).对矩阵(B,A)作初等行变换:

由此知A的列向量组不能由B的列向量线性表示的充要条件是b=