第3届全国大学生数学竞赛预赛试卷评分标准（数学类）.docx

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第三届中国大学生数学竞赛赛区赛

试题参考答案

(数学类,2011)

一、(本题15分)已知四点A(1,2,7),B(4,3,3),(5,-1,6),(√7,√7,0).试求过这四点的球面方程.

解答:设所求球面的球心为(,,),则

....................................................................(8分)

即

...................................................................(10分)

解得(,,)=(1,-1,3).而.......................................(14分)

(-1)2+(-2)2+(-7)2=25.

于是所求球面方程为

(x-1)2+(y+1)2+(z-3)2=25.

...................................................................(15分)

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二、(本题10分)设f1,f2,...,fn为[0,1]上的非负连续函数.求证:存在ξ∈[0,1],

使得

证明:记

ak=fk(x)dx,?k=1,2,...,n.

当某个ak=0时,结论是平凡的....................................(1分)

下设ak0(?k=1,2,...,n).我们有

....................................................................(8分)

由此立即可得存在ξ∈[0,1]使得

结论得证...........................................................(10分)

2

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三、(本题15分)设Fn是数域F上的n维列空间,σ:Fn→Fn是一个线性变换.若?A∈Mn(F),σ(AQ)=Aσ(Q),(?Q∈V),证明:σ=λ·idFn,其中λ是F中某个数,idFn表示恒同变换.

证明:设σ在Fn的标准基ε1,···,εn下的矩阵为B,则σ(Q)=BQ(?Q∈

Fn)................................................................(5分)

由条件:?A∈Mn(F),σ(AQ)=Aσ(Q),?Q∈Fn,有BAQ=ABQ,?Q∈Fn.

故AB=BA,(?A∈Mn(F))......................