第4届全国大学生数学竞赛决赛试题评分标准（数学类）.docx

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第四届全国大学生数学竞赛决赛试题标准答案

一、(本题15分):设A为正常数，直线?与双曲线x2?y2=2(x0)所围的有限部分的面积为A.证明：

(i)所有上述?与双曲线x2?y2=2(x0)的截线段的中点的轨迹为双曲线.(ii)?总是(i)中轨迹曲线的切线.

证明：将双曲线图形进行45度旋转，可以假定双曲线方程为,x0.设直线?交双曲线于(a,1/a)和(ta,1/ta),t1,与双曲线所围的面积为A.则有

??logt.由于

=0,f=+∞,f′20,

所以对常数A存在唯一常数t使得A=f(t)(5分).?与双曲线的截线段中点坐标为

于是，中点的轨迹曲线为

(10分)故中点轨迹为双曲线,也就是函数给出的曲线.该曲线在上述中点处的切线斜率

它恰等于过两交点(a,1/a)和(ta,1/ta)直线?的斜率:

故?为轨迹曲线的切线.(15分)

二、(本题15分):设函数f(x)满足条件:1)?∞a≤f(x)≤b+∞,a≤x≤b;2)对于任意不同的x,y∈[a,b]有|f(x)?f(y)|L|x?y|,其中L是大

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于0小于1的常数.设x1∈[a,b],令xn+1=)),n=1,2,···.证明：limn→∞xn=x存在,且f(x)=x.

证明：由题设x1∈[a,b],f(x)∈[a,b],x2=1+f(x1))∈[a,b],···,继续下去,对任意n≥1有a≤xn≤b,所以xn对任意n≥1有意义(3分).

由条件2),有

|x4?x3|=|(x3?x2)+(f(x3)?f(x2))|≤|x3?x2|≤()2|x2?x1|.继续下去得|xn+1?xn|≤n?1|x2?x1|,?n≥3.

由于k收敛,从而Σ|xk+1?xk|收敛,当然也收

敛.故其前n项部分和Σ=1(xk+1?xk)=xn+1?x1当n→∞时极限存在,

即limn→∞xn存在.(12分)

记limn→∞xn=λ,a≤λ≤b.由条件2)知,f(x)满足Lipschitz条件,从而是连续的.在xn+1=))中令n→∞,得λ=即f(λ)=λ.(15分)

三、(本题15分):设n阶实方阵A的每个元素的绝对值为2.证明：当n≥3时,

|A|·2n+1n!.

证明：(i)首先,|A|=2n|A1|,其中A1=A,它的所有元素为1或?1.(1分)

(ii)当n=3时,

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32?a31a22a13?a32a23a11?a33a21a12纟b1+b2+b3+b4+b5+b6

上式bi中每项为±1,且六项乘积为?1,至少有一个bi为?1，从而这六项中至少有两项相消,故有|A1|≤4=·2·3!.于是命题对n=3成立(9分).(iii)设此命

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题对于一切这样的(n?1)阶方阵成立,那么对n阶矩阵的情形,将|A|按第一行展开,记1行k列的代数余子式为M1k,便有

|A|=±2M11±2M12±···±2M1n≤2(|M11|+|M12|+···|M1n|)

四、(本题15分):设f(x)为区间(a,b)上的可导函数.对x0∈(a,b),若存在x0的邻域U使得任意的x∈U\{x0}有f(x)f(x0)+f′(x0)(x?x0),则称x0为f(x)的凹点.类似地,若存在x0的邻域U使得任意的x∈U\{x0}有f(x)f(x0)+f′(x0)(x?x0),则称x0为f(x)的凸点.证明:若f(x)为区间(a,b)上的可导函数,且不是一次函数,则f(x)一定存在凹点或凸点.

证明：因为f(x)不是一次函数,故存在ax1x2x3b,使得三点(x1,f(x1)),(x2,f