第3届全国大学生数学竞赛预赛试卷评分标准（非数学类）.docx

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第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

参考答案及评分标准（非数学类，2011）

一、（本题共4小题，每题6分，共24分）计算题

解：因为

=e2,………………3分

=2e2=2e2=—e2,………………5分

所以

………………6分

2.设an=cos.cos.….cos,求

解：若θ=0,则an=1.……1分

若θ≠0，则当n充分大，使得2n|k|时，

=cos.cos.….cos.………4分

这时,………6分

2

dxdy，其中D=解：设

……………2分

dxdy=1+=1+2ln2，dxdy=3-2ln2.………4分

dxdy=dxdy-Ddxdy=2-4ln2.………6分

4.求幂级数x2n-2的和函数，并求级数的和.

解x2n-2，则其的定义区间为(-2,2).

t2n-2dt=n-1=…2分

于是，…………4分

2n-2=S………………6分

二、（本题2两问，每问8分，共16分）设{an}=0为数列，a,λ为有限数，求证：

1.如果an=a，则

2.如果存在正整数p，使得则

证明：1.由an=a，3M0使得|an|≤M，且ε0,3N1∈N，当nN1时，

|an-a|……4分

因为3N2N1，当nN2时，.

3

所以，…………8分

n→∞n

2.对于i=0,1,…,p一1，令An(i)

=a(n+1)p+i一anp+i，易知{An(i)}为{an+p一an}的子列.

由知从而

而+…+Ap+i一ap+i.所以，lim

n→∞n

由=0.知lim………12分

n→∞nn→∞n

m∈N,3n,p,i∈N，(0≤i≤p一1)，使得m=np+i，且当m→∞时，n→∞.

所以，…………16分

三、（15分）设函数f(x)在闭区间[一1,1]上具有连续的三阶导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f,(0)=0.求证：在开区间(一1,1)内至少存在一点x0，使得f,,,(x0)=3

证.由马克劳林公式，得

f,,,x3，η介于0与x之间，x∈分

在上式中分别取x=1和x=一1,得

f,,,0η11.………5分

一f,,,一1η20.