第四届全国大学生数学竞赛预赛试题(非数学类)参考 答案及评分标准.doc

第四届全国大学生数学竞赛 预赛试题（非数学类）参考答案及评分标准 一、（本大题共5小题，每小题6分共30分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤） (1) 求极限 (2) 求通过直线的两个互相垂直的平面和，使其中一个平面过点。 (3) 已知函数，且。确定常数和，使函数满足方程 (4) 设函数连续可微，，且在右半平面与路径无关，求。 (5) 求极限 解 (1) 因为 1分 而 ，且 3分 所以 即 ， 故 2分 (2) 过直线的平面束为 即 2分 若平面过点，代入的 ，即 ， 从而平面的方程为 2分 若平面束中与垂直，则 解得 ，从而平面的方程为 2分 (3) ， 2分 2分 要使 ，只有 ， 即 2分 (4) 由 得 即 2分 方程的通解为 3分 由 得，故 1分 (5) 因为当时， 3分 2分 1分 二、（本题10分）计算 解 ： 由于 3分 应用分部积分法，得 2分 所以 2分 当时， ， 令，由两边夹法则，得 3分 注：如果最后不用夹逼法则，而用 需先说明收敛。 三、求方程的近似解，精确到0.001. 解： 由泰勒公式 2分 令 得 ， 代入原方程得 ，即 4分 由此知 ，， 4分 四、（本题12分）设函数二阶可导，且，，，求，其中是曲线上点处的切线在轴上的截距。 解：曲线上点处的切线方程为 令 ，则有，由此得 3分 且有 2分 由在的二阶泰勒公式 2分 得 3分 所以 2分 五、（本题12分）求最小实数，使得满足的连续函数都 有 解： 由于 4分 另一方面 取，则 3分 而 3分 因此最小实数 2分 六、（本题12分）设为连续函数，。区域是由抛物面 和球面所围起来的部分。定义三重积分 求的导数 解法1： 记， 2分 则在面上的投影为 在曲线 上任取一点，则原点到点的射线和轴的夹角为 取，则 对于固定的，考察积分差，这是一个在厚度为的球壳的积分，原点到球壳边缘上的点的射线和轴夹角在与之间。我们使用球坐标变换来做这个积分。由积分的连续性可知，存在，使得 4分 这样就有 当时 ， 故的右导数为 4分 当时，考察可以得到同样的左导数，因此 2分 解法2：令,则,其中， 2分 故有 2分 从而有 4分 注意到，第一个积分为0，我们得到 4分 七、（本题14分）设与为正项级数，证明： （1）若，则级数收敛； （2）若，且级数发散，则级数发散。 证明：（1）， 则存在正整数，对于任意的时， ，， 4分 因而级数的部分和有上界，从而级数收敛； 4分 （