第四届全国大学生数学竞赛预赛试题(非数学类)参考 答案及评分标准.doc
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第四届全国大学生数学竞赛
预赛试题(非数学类)参考答案及评分标准
一、(本大题共5小题,每小题6分共30分)解答下列个体(要求写出要求写出重要步骤)
(1) 求极限
(2) 求通过直线的两个互相垂直的平面和,使其中一个平面过点。
(3) 已知函数,且。确定常数和,使函数满足方程
(4) 设函数连续可微,,且在右半平面与路径无关,求。
(5) 求极限
解
(1) 因为 1分
而 ,且 3分
所以
即 , 故 2分
(2) 过直线的平面束为
即 2分
若平面过点,代入的 ,即 ,
从而平面的方程为 2分
若平面束中与垂直,则
解得 ,从而平面的方程为 2分
(3) , 2分
2分
要使 ,只有
, 即 2分
(4) 由 得
即 2分
方程的通解为 3分
由 得,故 1分
(5) 因为当时,
3分
2分
1分
二、(本题10分)计算
解 : 由于
3分
应用分部积分法,得
2分
所以
2分
当时,
,
令,由两边夹法则,得
3分
注:如果最后不用夹逼法则,而用
需先说明收敛。
三、求方程的近似解,精确到0.001.
解: 由泰勒公式 2分
令 得 , 代入原方程得
,即 4分
由此知 ,,
4分
四、(本题12分)设函数二阶可导,且,,,求,其中是曲线上点处的切线在轴上的截距。
解:曲线上点处的切线方程为
令 ,则有,由此得 3分
且有
2分
由在的二阶泰勒公式
2分
得
3分
所以 2分
五、(本题12分)求最小实数,使得满足的连续函数都 有
解: 由于 4分
另一方面 取,则 3分
而 3分
因此最小实数 2分
六、(本题12分)设为连续函数,。区域是由抛物面
和球面所围起来的部分。定义三重积分
求的导数
解法1: 记, 2分
则在面上的投影为
在曲线 上任取一点,则原点到点的射线和轴的夹角为
取,则
对于固定的,考察积分差,这是一个在厚度为的球壳的积分,原点到球壳边缘上的点的射线和轴夹角在与之间。我们使用球坐标变换来做这个积分。由积分的连续性可知,存在,使得
4分
这样就有
当时
,
故的右导数为
4分
当时,考察可以得到同样的左导数,因此
2分
解法2:令,则,其中, 2分
故有
2分
从而有
4分
注意到,第一个积分为0,我们得到
4分
七、(本题14分)设与为正项级数,证明:
(1)若,则级数收敛;
(2)若,且级数发散,则级数发散。
证明:(1),
则存在正整数,对于任意的时,
,, 4分
因而级数的部分和有上界,从而级数收敛; 4分
(
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