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第四届全国大学生数学竞赛预赛试题(非数学类)参考 答案及评分标准.doc

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第四届全国大学生数学竞赛 预赛试题(非数学类)参考答案及评分标准 一、(本大题共5小题,每小题6分共30分)解答下列个体(要求写出要求写出重要步骤) (1) 求极限 (2) 求通过直线的两个互相垂直的平面和,使其中一个平面过点。 (3) 已知函数,且。确定常数和,使函数满足方程 (4) 设函数连续可微,,且在右半平面与路径无关,求。 (5) 求极限 解 (1) 因为 1分 而 ,且 3分 所以 即 , 故 2分 (2) 过直线的平面束为 即 2分 若平面过点,代入的 ,即 , 从而平面的方程为 2分 若平面束中与垂直,则 解得 ,从而平面的方程为 2分 (3) , 2分 2分 要使 ,只有 , 即 2分 (4) 由 得 即 2分 方程的通解为 3分 由 得,故 1分 (5) 因为当时, 3分 2分 1分 二、(本题10分)计算 解 : 由于 3分 应用分部积分法,得 2分 所以 2分 当时, , 令,由两边夹法则,得 3分 注:如果最后不用夹逼法则,而用 需先说明收敛。 三、求方程的近似解,精确到0.001. 解: 由泰勒公式 2分 令 得 , 代入原方程得 ,即 4分 由此知 ,, 4分 四、(本题12分)设函数二阶可导,且,,,求,其中是曲线上点处的切线在轴上的截距。 解:曲线上点处的切线方程为 令 ,则有,由此得 3分 且有 2分 由在的二阶泰勒公式 2分 得 3分 所以 2分 五、(本题12分)求最小实数,使得满足的连续函数都 有 解: 由于 4分 另一方面 取,则 3分 而 3分 因此最小实数 2分 六、(本题12分)设为连续函数,。区域是由抛物面 和球面所围起来的部分。定义三重积分 求的导数 解法1: 记, 2分 则在面上的投影为 在曲线 上任取一点,则原点到点的射线和轴的夹角为 取,则 对于固定的,考察积分差,这是一个在厚度为的球壳的积分,原点到球壳边缘上的点的射线和轴夹角在与之间。我们使用球坐标变换来做这个积分。由积分的连续性可知,存在,使得 4分 这样就有 当时 , 故的右导数为 4分 当时,考察可以得到同样的左导数,因此 2分 解法2:令,则,其中, 2分 故有 2分 从而有 4分 注意到,第一个积分为0,我们得到 4分 七、(本题14分)设与为正项级数,证明: (1)若,则级数收敛; (2)若,且级数发散,则级数发散。 证明:(1), 则存在正整数,对于任意的时, ,, 4分 因而级数的部分和有上界,从而级数收敛; 4分 (
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