2025版新教材高中数学第五章三角函数5.1第2课时两角和与差的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修第.docx
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第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
2.能娴熟运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简、求值与证明.
数学运算——驾驭两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并能敏捷运用这些公式进行化简、求值与证明.
自主学习·必备学问
教材研习
教材原句
要点一两角和的余弦公式
cos(α+β)=
要点二两角和与差的正弦公式
sin(α+β)=①sinαcos
要点三两角和与差的正切公式
tan(α+β)=
tan(α-β)=②tan
自主思索
1.是否存在α,β∈R，使得sin(α+β)=sin
答案：提示存在.当α=30°，β=-30°时，sin(α+β)=sinα+
2.tan(α+β)=tanα+
答案：提示等价.当α≠kπ+π2(k∈Z)，β≠kπ+
名师点睛
1.留意公式的结构特征和符号规律
对于公式C(α-β)，C
对于公式S(α-β)，S
对于公式T(α-β)，T
2.在两角和与差的正切公式中,α，β，α+β，α-β均不等于kπ+π
3.两角和与差的正切公式的变形与特例
（1）变形公式：tanα+
tanα-
tanα
（2）公式的特例：
tan(π4
互动探究·关键实力
探究点一化简求值
精讲精练
例（1）cos?
（2）(tan
（3）已知cos(α+π6)=4
（4）1+tan
（5）求tan?
答案：（1）3
（2）-2
（3）3
（4）-
（5）3
解析：（1）因为cos?
所以原式=cos
（2）原式=(
=
=
=2?
（3）因为α∈(0,π2)，cos
所以sin(α+
所以sinα=
（4）因为tan?
所以1+
=tan
（5）因为tan(
所以tan
所以tan?
解题感悟
化简求值的策略
（1）当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
（2）当“已知角”有一个时,此时需留意“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
（3）在利用两角和与差的公式时先从所要化简式子的结构动身,确定是正用、逆用还是变形用,并留意整体代换.
（4）化简求值中要留意“特别值”的代换和应用：当所要化简的式子中出现特别的数值时,例如：“1”“3”,要考虑用这些特别值所对应的特别角的正切值去代换,如1=tanπ4
迁移应用
（1）2cos
（2）已知α为钝角,且sin(α+π12
（3）tan?
（4）tan?
答案：（1）2
（2）-
（3）-
（4）3
解析：（1）原式=2
=22
（2）因为α为钝角,且sin(α+
所以cos(α+
所以cos
=
=
=-2
（3）原式=tan
（4）因为tan?
所以tan?
所以tan?
探究点二给值求角
精讲精练
例（1）已知锐角α，β满意sinα=255，
（2）已知tan(α-β)=12，tanβ=-1
答案：（1）3?
（2）-
解析：（1）由题意得cosα=55
所以cos(α+β)=
因为0＜α+β＜π,所以α+β=
（2）由题意得tanα=
tan(2α-β)=
因为tanα=13
所以α∈(0,π2),β∈(
又因为tan(α-β)=
所以α-β∈(-π,-π
又tan(2α-β)=1,所以2α-β=-
解题感悟
解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要依据所求角的范围来确定,当所求角范围是(0,π)或(π,2?π
迁移应用
1.（2024湖北黄冈高一月考）已知α,β为锐角,且cosα=110,cos
A.23πB.34π
答案：B
解析：（1）因为α,β为锐角,且cosα=
所以sinα=
由α,β为锐角,
可得0＜α+β＜π
cos(α+β)=
故α+β=3?
故选B.
2.（2024湖南邵阳邵东县第一中学高一月考）若锐角α,β满意(1+3tanα)(1+
A.π6B.
C.π3D.
答案：C
解析：由题意得1+3
则tanβ+
故tan(α+β)=
因为α,β是锐角,
所以α+β∈(0,π
故α+β=π
探究点三两角和与差三角函数公式的综合运用
精讲精练
例（1）求函数f(x)=3
（2）设α,β∈(-π2,π2
答案：（1）f(x)=
=2(
=2(
=2?sin
所以T=2?πω
由-π
得f(x)的单调递增区间为
[-π
（2）由根与系数的关系得,
tanα+tanβ=-3
所以tan(α+β)=
因为tanα+
且α,β∈(-π
所以tanα＜0,
所以α+β∈(-π
所以α+β=-2?