2024_2025年新教材高中数学第五章三角函数1任意角和蝗制5.1.1任意角学案新人教A版必修第一册.docx
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随意角
[课程目标]1.了解随意角的概念，能正确区分正角、负角与零角，了解象限角的概念；2.理解并驾驭终边相同角的概念，能写出终边相同角组成的集合．
学问点一随意角
1．角的概念：角可以看成__一条射线__围着它的__端点__旋转所成的图形．
2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
一条射线绕其端点按__逆时针方向旋转__形成的角
负角
一条射线绕其端点按__顺时针方向旋转__形成的角
零角
一条射线__没有做任何旋转__，就称它形成了一个零角
[研读]角的概念中，“旋转”是关键，要留意旋转方向和旋转量的大小．
eq\a\vs4\al(【思辨】)推断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)零角的始边与终边重合．(√)
(2)始边与终边重合的角是零角．(×)
(3)360°角是指一条射线绕其端点逆时针旋转一周所得的图形．(√)
(4)钟表上的分针在一刻钟的时间里走了90°.(×)
【解析】(1)符合零角的概念．
(2)始边与终边重合的角不肯定是零角，也可以是其他角，如720°角的始边与终边重合．
(4)钟表上的分针在一刻钟的时间里走了－90°.
学问点二象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是
__第几象限角__．假如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
[研读]象限角满意的条件：角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边不在坐标轴上．
eq\a\vs4\al(【思辨】)推断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)－50°角是第四象限角．(√)
(2)钝角是其次象限的角．(√)
(3)180°角不是象限角．(√)
(4)第一象限角都是锐角．(×)
【解析】(4)第一象限角不肯定都是锐角，如－300°是第一象限角，但不是锐角．
学问点三终边相同的角
全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|__β＝α＋k·360°，k∈Z__}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__整数个周角__的和．
eq\a\vs4\al(【思辨】)推断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)终边落在同一条射线上的角有多数个．(√)
(2)30°角与－330°角的终边相同．(√)
(3)角α与角β的终边相同，则α＋β＝360°.(×)
(4)若α＝β＋180°，则角α与角β的终边相反．(√)
【解析】(1)依据终边相同的角的概念知说法正确．
(3)角α与角β的终边相同，则α－β＝k·360°(k∈Z).
eq\o(\s\up7(),\s\do5(随意角的概念))
eq\a\vs4\al(例1)下列结论中正确的是__②__．(填序号)
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角肯定不相等；
③小于90°的角为锐角；
④第三象限角大于其次象限角；
⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．
【解析】90°角既不是第一象限角，也不是其次象限角，故①不正确；
始边相同而终边不同的角肯定不相等，故②正确；
小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确；
终边落在第三象限的角可以是正角，也可以是负角，终边落在其次象限的角可以是正角也可以是负角，故④不正确；
0°小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．
活学活用
设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有(D)
A．B?C?A
B．B?A?C
C．D?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A∩C))
D．C∩D＝B
【解析】小于90°的角、锐角、第一象限角及小于90°而不小于0°的角的范围，如下表所示．
角
集合表示
小于90°的角
A＝{α|α90°}
锐角
B＝{α|0°α90°}
第一象限角
C＝{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}
小于90°而不小于0°的角
D＝{α|0°≤α90°}
所以C∩D＝B.
eq\o(\s\up7(),\s\do5(象限角的推断))
eq\a\vs4\al(例2)在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解：(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与65