2025版新教材高中数学第五章三角函数5.1第1课时两角差的余弦公式学案新人教A版必修第一册.docx
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第1课时两角差的余弦公式
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解两角差的余弦公式的推导过程,知道两角差的余弦公式的意义.
2.能利用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明.
数学运算——会运用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明.
自主学习·必备学问
教材研习
教材原句
对于随意角α，β有cos(α-β)=
此公式给出了随意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作C(α-β)
自主思索
1.利用差角的余弦公式求cos?
答案：提示cos?
名师点睛
1.两角差的余弦公式不要记为cos(α-β)=cosα-cosβ或cos(α-β)=cosαcos
2.应用两角差的余弦公式时,要明确公式的特点：公式左边是差角的余弦,公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余,正正,号相反”记忆公式.
互动探究·关键实力
探究点一给角求值
精讲精练
例求值：
（1）cos13?
（2）sin
（3）cos5?
（4）12
答案：（1）原式=
=-2
（2）原式=
=
=cos
（3）原式=
=
=cos
（4）原式=cos
解题感悟
解含非特别角的三角函数式的求值问题,可把非特别角转化为特别角的和或差,用公式干脆求值.在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
迁移应用
1.求值：
（1）cos(-
（2）cos?
（3）cos(θ+
答案：（1）原式=
=2
（2）原式=
=
=cos
（3）原式=
=cos
探究点二给值求值
精讲精练
例（1）已知sin(π3+α)=12
（2）已知sin(π3-α)=-12
答案：（1）因为α∈(π6,
所以cos(
因为α=(π3
=cos
（2）因为π6＜α＜5?
又sin(π3
所以cos(
所以cos
=
=5
解题感悟
已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要留意视察已知角与所求表达式中的角的关系,在解题过程中可以依据须要敏捷地进行拆角或凑角.
常见角的变换有：
①α=（α-β）+β；
②α=α+β
③2α=（α+β）+（α-β）；
④2β=（α+β）-（α-β）.
迁移应用
1.已知sin(α+π4)=-1
答案：因为α∈(5?
所以α+π
所以cos
=1-(-
所以cos
=
=
=4-
探究点三给值求角
精讲精练
例已知sin(π-α)=437，
答案：因为sin(
所以sinα=
因为0＜α＜π2,所以
因为cos(α-β)=1314,且0＜β＜α＜
所以sin(α-β)=
所以cosβ=
因为0＜β＜π2,所以
解题感悟
已知三角函数值求角的解题步骤
（1）依据条件确定所求角的范围;
（2）求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数;
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
迁移应用
1.已知cos(α-β)=-35，cos(α+β)=35,且
答案：由α-β∈(π2,π)
因为α+β∈(3?π2
所以sin(α+β)=-
cos
=
=3
因为α-β∈(π2,
所以2β∈(π2,3?π
评价检测·素养提升
1.cos?
A.cos
B.cos
C.sin
D.sin
答案：B
2.若sinαsinβ=1
A.0B.1
C.±1D.-1
答案：B
3.（2024湖南益阳箴言中学高一检测）已知α为锐角,β为第三象限角,且cosα=1213,sin
A.-6365
C.6365D.
答案：A
解析：因为α为锐角,cosα=1213
因为β为第三象限角,sinβ=-
所以cosβ=-
所以cos(α-β)=
4.化简：cos(α-
答案：1
解析：原式=cos