2025版新教材高中数学第五章三角函数4.2第1课时周期性与奇偶性学案新人教A版必修第一册.docx
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第1课时周期性与奇偶性
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.
2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期.
3.驾驭y=sin?x,y=cos?x的奇偶性,会推断简洁函数的奇偶性.
直观想象、数学运算——会用正弦函数、余弦函数的性质求周期、推断奇偶性.
自主学习·必备学问
教材研习
教材原句
要点一周期性
一般地,设函数的f(x)定义域为D,假如存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x).那么函数f(x)就叫做①周期函数.非零常数
假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的②最小正周期.
正弦函数是周期函数，2?kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是③2?
要点二奇偶性
正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.
自主思索
1.已知函数f(x),x∈D,存在一个非零常数T,使得对多数个x∈D,都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么非零常数
答案：提示不是多数个x并不能代表定义域中全部的x,只有当定义域中.的每一个x都满意时,T才是周期.
2.诱导公式sin(-x)=-
答案：提示奇偶性.
名师点睛
1.若函数的图象关于原点对称,则该函数是奇函数,若函数的图象关于y轴对称,则该函数是偶函数．
2.求形如y=sin(ωx+φ)或y=cos(ωx+φ)的函数图象的对称轴和对称中心时,经常运用换元法,令
互动探究·关键实力
探究点一函数的周期性
精讲精练
例求下列函数的最小正周期.
（1）f(x)=cos(2x+π
答案：（1）因为f(x)=cos
即f(x+π
所以函数f(x)=cos(2x+π
（2）作出函数y=|sin
由图象可知最小正周期为π.
解题感悟
求函数最小正周期的常用方法
（1）定义法：利用周期函数的定义求解;
（2）公式法：形如y＝Asin(ωx+φ)和y＝Acos(ωx+φ)（其中A,ω,φ,为常数,且A≠0,ω≠0）的函数的周期T＝=2?
（3）图象法：作出函数的图象,通过视察图象得到最小正周期.
迁移应用
1.设a＞0,若函数y=sin(ax+π)的最小正周期是
答案：2
解析：由题意知T=2?π|a|
所以a=2.
2.求下列函数的最小正周期.
（1）y=3?sin
（2）y=cos
答案：（1）由T=2?
（2）由2?π2022=π1011
探究点二函数的奇偶性
精讲精练
例推断下列函数的奇偶性．
（1）f(x)=sin
（2）f(x)=sin
（3）f(x)=1-
答案：（1）函数的定义域为R,关于原点对称.
因为f(x)=sin
所以f(-x)=cos(-1
（2）函数的定义域为R,关于原点对称.
因为f(-x)=sin(-x)cos
（3）由{1-cos?x≥0
所以函数的定义域为{x|x=2?kπ
当cos?x=1时,f(x)=0,f(x)=±f(-x)
所以f(x)=1-
解题感悟
推断函数奇偶性的“三步曲”
一看：看函数的定义域是否关于原点对称;
二求：求f(x)与f(-x)的关系;
三推断：
恒等式
奇偶性
f(-x)=f(x)
偶函数
f(-x)=-f(x)
奇函数
f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x)
既是奇函数,又是偶函数
f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x)
非奇非偶函数
迁移应用
1.推断下列函数的奇偶性.
（1）f(x)=xcos
（2）f(x)=cos
（3）f(x)=sin
答案：（1）因为x∈R
f(-x)=-xcos
所以f(x)为奇函数．
（2）因为x∈R
f(-x)=
=cos
所以f(x)为偶函数．
（3）因为x∈R
f(-x)=sin
f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),所以f(x)为非奇非偶函数.
探究点三函数周期性与奇偶性的综合运用
精讲精练
例定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈[0,π2]时,f(x)=
A.-12
C.-32
答案：D
解析：f(
=f(
=f(π
解题感悟
与三角函数奇偶性有关的结论
（1）要使y＝Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z
（2）要使y＝Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)为偶函数,则φ=kπ+
（3）要使y＝Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)为奇函数,则φ=kπ+
（4）要使y＝Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)为偶函数,则则φ=kπ(k∈Z
迁移应用
1.若