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2025版新教材高中数学第五章三角函数4.2第2课时单调性与最值学案新人教A版必修第一册.docx

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第2课时单调性与最值

课标解读

课标要求

素养要求

1.驾驭y=sin

2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中

3.驾驭y=sin?x,y=cos

1.直观想象——能利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小.

2.数学运算——会依据正弦函数、余弦函数的性质求解与单调性有关的问题.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

要点一单调性

正弦函数在每一个闭区间[-π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z

余弦函数在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都⑤单调递增,其值从-1⑥

要点二最大值与最小值

正弦函数当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)

余弦函数当且仅当x=2?kπ(k∈Z)时取得最?大值1,当且仅当

自主思索

1.函数y=sin?x和y=cos?x的单调递减区间为(m,n)(其中0<m<n<2?π

答案:提示由正弦函数和余弦函数的单调性可知m=π

2.函数y=sin

答案:提示函数y=sin

名师点睛

1.函数y=sin

2.函数y=sin?x的最大值唯一,取最大值时的

3.对正弦、余弦(型)函数最值的三点说明

(1)明确正弦、余弦函数的有界性,即|sin

(2)函数y=sin?x,x∈D(y=cos?x,x∈D)的最值不肯定是1或-1,要依据函数的定义域

(3)求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的最值,通常利用“整体代换”,即令ωx+φ=z,将函数转化为

互动探究·关键实力

探究点一正弦、余弦(型)函数的单调性

精讲精练

例(1)函数y=sin

(2)求函数y=2?cos

答案:(1)[0,

解析:(1)y=sin

令-π

解得-π

又x∈[0,2?π

所以0≤x≤2?

即函数的单调递减区间为[0,2?

答案:(2)令2kπ

即2kπ

所以kπ

所以单调递增区间为[kπ

令2kπ

即2kπ

所以kπ

所以单调递减区间为[kπ

所以函数y=2?cos(2x-π6)

解题感悟

正弦、余弦(型)函数的单调区间的求解技巧

(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.

(2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ)),A>0,ω>0的单调区间的方法:可采纳“换元”法整体代换,若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.

迁移应用

1.函数f(x)=2?sin(x-π

A.[-π,-

C.[-π3

答案:D

解析:令2kπ

解得2kπ

又-π≤x≤0,所以

2.函数y=3?sin

答案:[-

解析:因为y=3?

=-3?sin

所以y=3?sin(2x-π3)

解得-π

所以函数y=3?sin(π

探究点二比较三角函数值的大小

精讲精练

例比较下列各组数的大小.

(1)cos(-π8

(2)sin?194

(3)sin(-20?π

答案:(1)cos(-

cos13?

因为0<π8<π7

所以cosπ8>

(2)sin

cos?

因为0°<14

所以sin?70°

故sin?

(3)sin(-

cos(-

因为函数y=sin?x在[-π

所以sinπ

所以-sin

故sin(-

解题感悟

比较三角函数值大小的步骤

(1)异名函数化为同名函数;

(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上;

(3)利用函数的单调性比较大小.

迁移应用

1.比较下列各组数的大小.

(1)sin?220

(2)cos15?π8

(3)cos?1与sin

答案:(1)因为函数y=sin?x在(π2,

(2)cos15?

cos14?

因为函数y=cos?x在[0,π

所以cosπ8>

(3)因为1∈[0,π

所以cos?1=

因为y=sin?x在

又π2+1,2∈[π

所以sin(π2

探究点三正弦、余弦(型)函数的最值问题

精讲精练

例已知函数y=cos

(1)求函数的值域;

(2)求函数取得最小值时x的取值集合.

答案:(1)y=

=-sin

因为-1≤sin?x≤1,所以

所以函数y=cos2x+2?

(2)因为y=cos

所以当sin?x=-1时,y

此时x的取值集合为{x∣x=2kπ-π

解题感悟

(1)形如y=asin?x(或y=acos?x)的函数,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,留意对a正负的探讨.

(2)形如y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B)的函数,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,

(3)形如y=asin2x+bsin?x+c(a≠0)的函数,可利用换元思想,设

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