2025版新教材高中数学第五章三角函数4.2第2课时单调性与最值学案新人教A版必修第一册.docx
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第2课时单调性与最值
课标解读
课标要求
素养要求
1.驾驭y=sin
2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中
3.驾驭y=sin?x,y=cos
1.直观想象——能利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小.
2.数学运算——会依据正弦函数、余弦函数的性质求解与单调性有关的问题.
自主学习·必备学问
教材研习
教材原句
要点一单调性
正弦函数在每一个闭区间[-π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z
余弦函数在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都⑤单调递增,其值从-1⑥
要点二最大值与最小值
正弦函数当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)
余弦函数当且仅当x=2?kπ(k∈Z)时取得最?大值1,当且仅当
自主思索
1.函数y=sin?x和y=cos?x的单调递减区间为(m,n)(其中0<m<n<2?π
答案:提示由正弦函数和余弦函数的单调性可知m=π
2.函数y=sin
答案:提示函数y=sin
名师点睛
1.函数y=sin
2.函数y=sin?x的最大值唯一,取最大值时的
3.对正弦、余弦(型)函数最值的三点说明
(1)明确正弦、余弦函数的有界性,即|sin
(2)函数y=sin?x,x∈D(y=cos?x,x∈D)的最值不肯定是1或-1,要依据函数的定义域
(3)求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的最值,通常利用“整体代换”,即令ωx+φ=z,将函数转化为
互动探究·关键实力
探究点一正弦、余弦(型)函数的单调性
精讲精练
例(1)函数y=sin
(2)求函数y=2?cos
答案:(1)[0,
解析:(1)y=sin
令-π
解得-π
又x∈[0,2?π
所以0≤x≤2?
即函数的单调递减区间为[0,2?
答案:(2)令2kπ
即2kπ
所以kπ
所以单调递增区间为[kπ
令2kπ
即2kπ
所以kπ
所以单调递减区间为[kπ
所以函数y=2?cos(2x-π6)
解题感悟
正弦、余弦(型)函数的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.
(2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ)),A>0,ω>0的单调区间的方法:可采纳“换元”法整体代换,若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.
迁移应用
1.函数f(x)=2?sin(x-π
A.[-π,-
C.[-π3
答案:D
解析:令2kπ
解得2kπ
又-π≤x≤0,所以
2.函数y=3?sin
答案:[-
解析:因为y=3?
=-3?sin
所以y=3?sin(2x-π3)
解得-π
所以函数y=3?sin(π
探究点二比较三角函数值的大小
精讲精练
例比较下列各组数的大小.
(1)cos(-π8
(2)sin?194
(3)sin(-20?π
答案:(1)cos(-
cos13?
因为0<π8<π7
所以cosπ8>
(2)sin
cos?
因为0°<14
所以sin?70°
故sin?
(3)sin(-
cos(-
因为函数y=sin?x在[-π
所以sinπ
所以-sin
故sin(-
解题感悟
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数;
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上;
(3)利用函数的单调性比较大小.
迁移应用
1.比较下列各组数的大小.
(1)sin?220
(2)cos15?π8
(3)cos?1与sin
答案:(1)因为函数y=sin?x在(π2,
(2)cos15?
cos14?
因为函数y=cos?x在[0,π
所以cosπ8>
(3)因为1∈[0,π
所以cos?1=
因为y=sin?x在
又π2+1,2∈[π
所以sin(π2
探究点三正弦、余弦(型)函数的最值问题
精讲精练
例已知函数y=cos
(1)求函数的值域;
(2)求函数取得最小值时x的取值集合.
答案:(1)y=
=-sin
因为-1≤sin?x≤1,所以
所以函数y=cos2x+2?
(2)因为y=cos
所以当sin?x=-1时,y
此时x的取值集合为{x∣x=2kπ-π
解题感悟
(1)形如y=asin?x(或y=acos?x)的函数,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,留意对a正负的探讨.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B)的函数,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,
(3)形如y=asin2x+bsin?x+c(a≠0)的函数,可利用换元思想,设