2024_2025学年新教材高中数学第五章三角函数7三角函数的应用学案新人教A版必修第一册.docx

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三角函数的应用

最新课程标准

学科核心素养

1.会用三角函数解决简洁的实际问题．

2．体会可以利用三角函数构建刻画事物周期改变的数学模型．

1.会用三角函数模型解决一些简洁的实际问题．(数学建模、数学运算)

2．了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．(直观想象)

3．利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．(数学建模、逻辑推理)

教材要点

要点一函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中各

参数的物理意义

要点二三角函数模型应用的步骤

三角函数模型应用即建模问题，依据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．

步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→依据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．

这里的关键是________________，一般先依据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出详细的三角函数解析式．

要点三三角函数模型的拟合应用

我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“________”，通过视察散点图并进行数据拟合，从而获得详细的函数模型，最终利用这个函数模型来解决相应的实际问题．

eq\a\vs4\al(状元随笔)解答三角函数应用题应留意四点

(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．

(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．

(3)实际问题的背景往往比较困难，而且须要综合应用多门学科的学问才能完成，因此，在应用数学学问解决实际问题时，应当留意从困难的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科学问来帮助解决问题．

(4)实际问题通常涉及困难的数据，因此往往须要用到计算机或计算器．

基础自测

1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)三角函数模型是描述周期改变现象的重要函数模型．()

(2)在探讨详细问题时，我们经常利用搜集到的数据，作出相应的“散点图\”来获得相应的函数模型．()

(3)函数y＝|cosx|的图象是以2π为周期的波浪形曲线．()

2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满意函数F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()

A．[0，5]B．[5，10]

C．[10，15]D．[15，20]

3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：

s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,6)))，s2＝5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t－\f(π,3))).

则在时间t＝eq\f(2π,3)时，s1与s2的大小关系是()

A．s1＞s2B．s1＜s2

C．s1＝s2D．不能确定

4．简谐振动y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))的频率和相位分别是________．

三角函数模型在物理中的应用

例1已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0).

(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示，试依据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))中t在随意一段eq\f(1,100)秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？

方法归纳

处理物理学问题的策略

(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．

(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数学问结合解题．

跟踪训练1已知简谐运动的函数关系式为f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))，其图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和φ分别是多少？

三角函数模型在生活中的应用