2024_2025学年新教材高中数学第五章三角函数1.1任意角学案新人教A版必修第一册.doc

PAGE

PAGE8

随意角

新课程标准解读

核心素养

1.了解随意角的概念，区分正角、负角与零角

数学抽象

2.理解并驾驭终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合

数学抽象

3.了解象限角的概念

数学抽象

奥运会赛场上，跳水运动员的美丽动作引来阵阵喝彩声．跳水(Diving)是一项美丽的水上运动，它是从高处通过空中转体，并以特定动作入水的运动．

[问题]假如跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，那么运动员转过的角度是多少？

学问点一随意角的概念

1．角的概念

角可以看成平面内一条射线围着它的端点旋转所成的图形．

2．角的表示

如图，①始边：射线的起始位置OA；

②终边：射线的终止位置OB；

③顶点：射线的端点O；

④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．

3．角的分类

名称

定义

图形

正角

一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角

负角

一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角

零角

一条射线没有做任何旋转形成的角

1．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？

提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．

2．正角、负角、零角是依据什么区分的？

提示：依据组成角的射线的旋转方向．

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)小于90°的角都是锐角．()

(2)终边与始边重合的角为零角．()

(3)大于90°的角都是钝角．()

(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.()

答案：(1)×(2)×(3)×(4)×

2．下列说法正确的是()

A．最大的角是180° B．最大的角是360°

C．角不行以是负的 D．角可以是随意大小

答案：D

3．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．

答案：390°－150°60°

学问点二角的加法

1．若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β．

2．设α，β是随意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β．

3．相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)．

下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________．

解析：在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β.

在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β.

同理可知，③中γ＝α－β，④中γ＝α＋β.

答案：①④②③

学问点三象限角与终边相同的角

1．象限角

在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与eq\a\vs4\al(x)轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；假如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

2．各象限角的集合

象限角

象限角α的集合表示

第一象限角

{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}

其次象限角

{α|k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z}

第三象限角

{α|k·360°＋180°αk·360°＋270°，k∈Z}

第四象限角

{α|k·360°＋270°αk·360°＋360°，k∈Z}

3．终边相同的角

全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

eq\a\vs4\al()

对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解

(1)角α为随意角，“k∈Z”不能省略；

(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；

(3)相等的角的终边肯定相同，而终边相同的角不肯定相等；终边相同的角有多数个，它们相差360°的整数倍．

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)终边相同的角肯定相等．()

(2)－30°是第四象限角．()

(3)其次象限角是钝角．()

(4)225°是第三象限角．()

答案：(1)×(2)√(3)×(4)√

2．与610°角终边相同的角表示为(其中k∈Z)()

A．k·360°＋230° B．k·360°＋250°

C．k·360°＋70° D