2024_2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.1.1两角差的余弦公式学案新人教A版必修第一册.docx
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三角恒等变换
最新课程标准
学科核心素养
1.经验推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．
2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
3．能运用上述公式进行简洁的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
1.会推导两角差的余弦公式．(逻辑推理)
2．能通过两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理、数学运算)
3．能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)
4．能敏捷运用以上公式解决求值、化简、证明问题．(逻辑推理、数学运算)
5．5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时两角差的余弦公式
教材要点
要点两角差的余弦公式
名称
简洁符号
公式
运用条件
两角差
的余弦
C(α－β)
cos(α－β)＝__________________
α，β为随意角
eq\a\vs4\al(状元随笔)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反\”记忆公式．
基础自测
1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对随意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.()
(2)对随意角α，β都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.()
(3)存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosα－cosβ.()
(4)对随意角α，β，都有cos(α－β)＝cosα－cosβ.()
2．cos15°＝()
A．eq\f(\r(6)＋\r(2),4)B．eq\f(\r(6)－\r(2),4)
C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)
3．cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°等于()
A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)
C．eq\f(\r(3),3)D．eq\r(3)
4．已知cosα＝eq\f(1,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝________．
两角差的余弦公式的简洁应用
例1求下列各式的值：
(1)cos(－375°)；
(2)cos75°cos15°－sin75°sin195°；
(3)cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα；
(4)eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°.
方法归纳
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特别角转化为特别角的差，正用公式干脆求解．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．
跟踪训练1(1)cos(45°－α)cos(15°－α)＋sin(45°－α)·sin(15°－α)＝()
A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)
C．eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)
(2)cos63°sin57°＋sin117°sin33°＝________．
给值求值
例2已知sinα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，cosβ＝－eq\f(5,13)，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．
方法归纳
给值求值的解题策略
(1)利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的形式．
(2)常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝(α＋2β)－β，α＋β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))等．
跟踪训练2已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且sinα＝eq\f(4,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(16,65)，求cosβ的值．
已知三角函数值求角
例3已知α，β均为