2024年新教材高中数学第五章三角函数4.2第1课时正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性作业含解析新人教A版必修第一册.docx

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第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

A级基础巩固

1.函数y=cos(-12x+π2)的奇偶性是 (

A.奇函数 B.偶函数

C.非奇非偶函数D.既是奇函数也是偶函数

答案:A

2.下列函数中,周期为π2的是 (

A.y=sinx2 B.y=sin2

C.y=cosx4 D.y=cos4

答案:D

3.定义在R上的四个函数图象的一部分如图所示,其中不是周期函数的是 ()

AB

CD

答案:D

4.函数y=4sin(2x+π)的图象关于原点对称.

5.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈-π2,0时,f(x)=sinx,则f

解析:f-5π3=fπ3=-f-π

B级实力提升

6.设函数f(x)=sinπ3x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(738)=0

解析:因为f(x)=sinπ3x的周期T=2π

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(738)=123[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+

f(6)]=123(sinπ3+sin23π+sinπ+sin43π+sin53

7.推断函数f(x)=ln(sinx+1+sin2

解:因为sinx+1+sin2x

若两处等号同时取到,则sinx=0且sinx=-1,冲突,

所以对x∈R恒有sinx+1+sin2

因为f(-x)=ln(-sinx+1+sin

ln(1+sin2x-sinx)=ln(1+sin2

-ln(sinx+1+sin2x)=-f

所以f(x)为奇函数.

8.已知f(x)是以π为周期的偶函数,且当x∈0,π2时,f(x)=1-sinx.求当x∈5π2,3π时f(x)的函数解析式.

解:x∈[5π2,3π]时,3π-x∈[0,π2

因为x∈[0,π2]时,f(x)=1-sinx

所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sinx.

又因为f(x)是以π为周期的偶函数,

所以f(3π-x)=f(-x)=f(x),

所以f(x)的函数解析式为f(x)=1-sinx,x∈[5π2,3π]

C级挑战创新

9.多选题关于x的函数f(x)=sin(x+φ),下列说法正确的是 ()

A.对随意的φ,f(x)都是非奇非偶函数

B.存在φ,使f(x)是偶函数

C.存在φ,使f(x)是奇函数

D.对随意的φ,f(x)都不是偶函数

E.存在φ,使f(x)既是奇函数又是偶函数

解析:当φ=0时,f(x)=sinx是奇函数;当φ=π2时,f(x)=cosx是偶函数.因此B项和C项正确,A项和D项错误;既是奇函数又是偶函数的函数只有一种表达形式,即f(x)=0,明显不存在φ,使f(x)既是奇函数又是偶函数,因而E项错误

答案:BC

10.多空题若函数f(x)=3sin(ωx+π6),ω0,x∈R,且以π2为最小正周期,则ω=4;若f(α4+π12)=95,则sin

解析:因为f(x)的最小正周期为π2,ω0,所以ω=2π

所以f(x)=3sin(4x+π6)

因为f(α4+π12)=3sin(α+π3+π6)=3cos

所以cosα=35.

所以sinα=±1-co