随机信号分析课件第六章.ppt

随机过程;第六章： 正态随机过程; 如果对一个随机过程任意选取 n 个时刻，则得到 n 个相应的随机变量, 若此 n 个随机变量的联合分布是 n 维正态分布，则称随机过程 X(t) 是正态随机过程（高斯过程）。;随机变量的特征函数： 随机变量的概率密度函数和特征函数之间存在一一对应关系，这个关系就是 Fourier 变换对，因此在得知随机变量的特征函数后，就可以知道它的概率密度函数。; 设 为随机变量，称 的数学期望为随机变量 的特征函数。记为： ;解：; ① 具有 ② X 的特征函数为 ，则 Y=aX+b 的特征函数为： ;证明：（归纳法证明）;证明省略。;即：; 同一维随机变量一样，多维随机变量的特征函数与概率密度函数是一对fourier变换对：; 若X1，X2 统计独立，则： 推广到n个： 证明：; 边际特征函数： 推广到n个： ???明： ; 已知; 一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示为：;若随机变量X1,X2的联合概率密度函数可以表示为：;二维正态分布的协方差矩阵可表示为：;二维正态随机变量的联合概率密度也可表示为：;二维正态随机变量的特征函数表示为：; 若n维随机变量的联合密度函数为：; 若 ，则存在 n 阶正交矩阵A，使得向量 中的分量Y1,Y2, …,Yn是独立的随机变量， 且 Yi 为一维正态分布 N～(0,di)。; 的特征函数为;由性质1可以知道： 为 n 维独立随机变量， ;由特征函数线性变换的性质，对于： ; n维正态分布中任意m维子向量亦为正态分布(mn);则:; n维正态随机变量的线性变换也为正态随机变量。 即若 为正态随机向量，则 亦为正态随机向量。; 若 为n维正态随机变量，那么X1,X2, …,Xn相互独立的充要条件是两两互不相关。 ;;实际上，若：; 若 为n维正态随机变量，则其混合中心距可以用其特征函数来表述： ;6.4 正态随机过程的定义; n维正态随机变量的联合密度函数为：; 若正态随机过程为宽平稳，则必为严平稳。 二阶矩过程; 若正态过程为宽平稳过程，则 mX(t)=a 为常数，RX(tk,ti)= RX(tk-ti). 任取n个抽样时刻 t1,t2,…tn，这n个时刻所对应的随机变量的协方差矩阵为C，其任意一元素 cki=RX(tk-ti)-a2=c(tk-ti)，则该n个正态变量对应的特征函数为： ; 若把 n 个时间抽样点作一个时间平移 h，即取抽样时刻为t1+h,t2+h,…tn+h，则平移后的对应的 n 个正态分布的随机变量的特征函数为： ; 如果对高斯过程X(t)在n个不同时刻采样，所得一组随机变量 X1,X2,…Xn 为两两互不相关，则这些随机变量也是相互独立的。 平稳正态随机过程与确定信号之和的概率分布仍为正态随机过程。 若正态随机过程X(t)在T上是均方可微的，则其导数 X’(t)也是正态过程。 若正态随机过程X(t)在T上是均方可积的，则其下列积分也是正态过程。; 高斯过程通过线性系统，其输出亦为正态随机过程。 若系统输入端的随机过程为非高斯过程，只要输入随机过程的等效带宽远大于系统的通频带，系统输出端得到正态随机过程。;例题6-2： 设平稳正态过程 X(t) 均值为0，相关函数RX(τ)=(e-2|τ|)/4，求对给定时刻 t，X(t1)的值在0.5和1之间的概率。 解：;;例题6-3： X(t)=Acosw0t+Bsinw0t，其中A与B为两个独立的正态随机变量，且EA=EB=0，EA2=EB2=σ2，w0为常数，求X(t) 的一维，二维密度函数。 解：;或者;或者;X(t)＝Xcos2πt+Ysin2πt，式中X和Y是独立的随机变量，且均值为0，方差为σ2，求X(0),X(1/4),X(1/2)的协方差矩阵。 正态随机过程X(t)有自相关函数 (1) (2) 且均值为0,试确定随机变量X(t),X(t+1),X(t+3) 的协方差矩阵。