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余弦定理习题及练习.ppt

发布:2017-11-06约1.88千字共28页下载文档
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第2课时  余弦定理 在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是(  ) A.锐角三角形    B.直角三角形 C.钝角三角形 D.非钝角三角形 解析因为AB2+BC2-AC2=52+62-820, ∴AC边所对角B为钝角,故选C. 答案:C 3.在△ABC中,已知b=1,c=3,A=60°,则a=________. 4.在△ABC中,若(a+b)2=c2+ab,则角C等于_120_______. 解析∵(a+b)2=c2+ab,∴c2=a2+b2+ab. 又c2=a2+b2-2abcosC.∴a2+b2+ab=a2+b2-2abcosC. ∴-2cosC=1,∴cosC=- , ∴C=120°. [例1] 在△ABC中,已知a=2,b=2 ,C=15°,求角A、B和边c的值. [分析] 由条件知C为边a、b的夹角,故应由余弦定理来求c的值. [例2] 在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,求△ABC的最大内角的正弦值. [分析] 本题主要考查了余弦定理及大边对大角等平面几何性质,要求出最大内角的正弦值,须先确定哪条边最大(同时表达出边a、b、c的长),然后应用余弦定理先求出余弦值,再求正弦值. 迁移变式2 在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC. [例3] 在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,试判断三角形的形状. [分析] 由题目可获取以下主要信息: ①边角之间的关系:b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC; ②确定三角形的形状. 解答本题先由正弦定理将边转化为角,然后由三角恒等式进行化简,得出结论;也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系,然后由边的关系确定三角形形状. 则条件转化为4R2·sin2C·sin2B+4R2·sin2C·sin2B =8R2·sinB·sinC·cosB·cosC, 又sinB·sinC≠0, ∴sinB·sinC=cosB·cosC, 即cos(B+C)=0. 又0°B+C180°, ∴B+C=90°, ∴A=90°,故△ABC为直角三角形. [点评] 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考,可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系,从而判断三角形的形状,也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换,得出三角形各内角之间的关系,从而判断三角形形状. 迁移变式3 在△ABC中,(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,试确定△ABC的形状. 解:由于(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 所以a2=b2+c2-bc, 又由余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA, 又∵sinA=sin(B+C) =sinBcosC+cosBsinC且 sinA=2sinBcosC, ∴sinBcosC=cosBsinC, 即sin(B-C)=0,∴B=C, 又B+C=120°,∴B=C=60°. 故△ABC为等边三角形. [例4] 在△ABC中,C=2A,a+c=10,cosA= ,求b. [点评] (1)本例首先由正弦定理结合倍角公式求出a、c,再利用余弦定理求出b的值,通过正、余弦定理的完美结合求得结果. (2)正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,要解三角形,必须已知三角形的一边的长,对于两个定理,根据实际情况可以选择地运用,也可以综合地运用,要注意以下关系式的运用: 迁移变式4 在△ABC中,已知ABC,且A=2C,b=4,a+c=8,求a、c的长. 利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角. 请注意:(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,是解三角形的重要工具. (2)余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. (3)在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一. (4)运用余弦定理时,因为已知三边求角,或已知两边及夹角求另一边,由三角形全等的判定定理知,三角形是确定的,所以解也是惟一的. 2.余弦定理的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,可以求第三边,进而求出其他角. * * 答案:B [点评] 本题中比例系数k的引入是解题的关键. * * * *
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