核按钮2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) 4.3 三角函数的图象与性质习题 理.doc

§4.3　三角函数的图象与性质 1．“五点法”作图(1)在确定正弦函数y＝在[0π]上的图象形状时起关键作用的五个点是(2)在确定余弦函数y＝在[0π]上的图象形状周期函数的定义对于函数f(x)如果存在一个非零常数T使得当x取定义域内的每一个值时都有________________那么函数(x)就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数(x)的所有周期中存在一个最小的正数那么这个最小正数就叫做f(x)的________________．3．三角函数的图象和性质 函数性质 y＝＝＝定义域 ________ ②________ ③_______ 图象 值域 ________ ⑤________ R 对称性 对称轴：________；对称中心：_______ 对称轴：________；对称中心：________ 无对称轴；对称中心：______ 最小正周期 ?_________ ?_______ 单调性 单调增区间__；单调增区间单调减区间___；单调减区间单调增区间奇偶性 _______ 自查自纠(1)(0，0)　　(π)　　(2π) (2)(0，1)　　(π－1)　　(2π) 2．f(x＋T)＝f(x)　最小正周期　②R　③　④[－1] ⑤[－1]　⑥x＝kπ＋(k∈Z)　⑦(kπ)(k∈Z) ⑧x＝kπ(k∈Z)　⑨(k∈Z)(k∈Z)　2π　2π　π ?(k∈Z) ?(k∈Z) ?[2kπ－ππ](k∈Z)　2kπ，2kπ＋π](k∈Z)(k∈Z)　奇函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 下列函数中最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　)＝ B．y＝ C．y＝＋＝＋解：y＝＝－最小正周期为π且其图象关于点(k∈)对称＝0时为原点．故选 ()下列函数中周期为π且在上是减函数的是(　　)＝ B．y＝ C．y＝＝解：对于函数y＝＝π当x∈时[0，π]，y＝是减函数．故选 ()y＝的图象的一个对称中心是(　　)(－π) B. C. D. 解：令x－＝kπ得x＝＋kπ于是是y＝的图象的一个对称中心．故选 ()函数y＝(3－4)的定义域为____________．解：∵3－4＞0＜－＜＜利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示) ∴x∈(k∈Z)．故填(k∈)． 函数f(x)＝(φ∈[0，2π])是偶函数则φ＝__________.解：∵函数f＝是偶函数＝＋kπφ＝＋3kπ.又∵φ∈φ＝故填 　　　　　　 　　　　　　　　　 　　类型一　三角函数的定义域、值域 　(1)函数y＝(sinx－)的定义域是____________．解：要使函数有意义必须使－＞0.解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0π]上y＝x和y＝的图象如图所示： 在[0π]内满足＝的x为，在内＞再结合正弦、余弦函数的周期是2π所以定义域为{x＋2kπ＜x＜＋2kπ}．解法二：利用三角函数线．如图为正弦线为余弦线要使＞只须＜x＜(在[0π]内)． ∴定义域为{x|＋2kπ＜x＜＋2kπ}．解法三：－＝＞0由正弦函数y＝的图象和性质可知2kπ＜x－＜π＋2kπ解得2kπ＋＜＜＋2kπ. ∴定义域为故填①求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域经常借助两个工具即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象有时也利用数轴；对于较为复杂的求三角函数的定义域问题应先列出不等式(组)分别求解然后利用数轴或三角函数线求交集．(2)函数y＝－3－4＋4的值域是________．解：原式＝3－4＋1＝3－，∴cosx∈. ∴当＝－即x＝π时有最大值；当＝即x＝时有最小值－值域为故填(3)已知函数f(x)cos，求函数(x)在区间上的最大值和最小值．解：∵－－π＋， ∴当2x＋＝－πx＝－时(x)有最小值(x)min＝－1；当2x＋＝0即x＝－时(x)有最大值(x)max＝即f(x)在上的最小值为－1最大值为求三角函数的值域(最值)时代数中求值域(最值)的方法均适用1(2)，注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等．对于形如y＝A(ωx＋φ)＋b(或y＝A(ωx＋φ)＋b)可直接求出ωx＋φ在区间的范围然后根据单调性求解．　(1)求函数y＝的定义域；(2)已知函数f(x)＝，x∈R，求f(x)在上的最大值和最小值；(3)求函数y＝的最小值；(4)求函数y＝－＋的值域．解：(1)∵y＝ ∴原函数的定义域为π＜x＜2kπ＋π且x≠2kπ＋π＋π}．(2)∵x∈，∴2x－. 当2x－＝－即x＝0时函数f(x)有最小值－；当2x－＝即x＝时函数f(x)有最大值1.(3)解法一：∵y＝＝＝1＋当＝－1时min＝1＋＝解法二：由y＝得＝