核按钮2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式习题 理.doc

§4.2　同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义同角三角函数间有以下两个等式：；(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式．2．三角函数的诱导公式(1)诱导公式的内容：函数 sinx cosx tanx －α －α cosα －α ±α ?cotα　 π±α ±α ?cotα　 2π±α (2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍则正、余弦互变正、余切互变；若是偶数________．“符号看象限”是把α当成________时原三角函数式中的角 所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角如(360°＋120)＝(270°＋120)＝－此时把120当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．(3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数因此常用于化简和求值其一般步骤是： 3．sinα＋α，sinαcosα，sinα－α三者之间的关系(sinα＋α)2＝________________；(sinα－α)2＝________________；(sinα＋α)2＋(α－α)2＝____________；(sinα＋α)2－(α－α)2＝___________.自查自纠(1)①sin2α＋α＝1　②＝α 2．(1) x 函数 sinx cosx tanx －α －α cosα －α ±α cosα ?sinα ?cotα　 π±α ?sinα －α ±tanα ±α －sα ±sinα ?cotα　 2π±α ±sinα cosα ±tanα (2)不变　锐角　象限(3)锐角＋α　1－α　2　2α ()已知α为第二象限角且α＝则(π＋α)的值是(　　) B. C．－－解：∵α为第二象限角α＝－＝－(π＋α)＝α＝＝－故选 ()设a＝＝s55°，c＝则(　　)＞b＞c ．＞c＞a＞b＞a ．＞a＞b解：∵a＝＝＝＝＞b＞a.故选 ()若θ，cosθ是方程4x＋2mx＋m＝0的两根则m的值为(　　)＋　　．－　　．　　．－1－解：由题意知θ＋θ＝－θcosθ＝又(θ＋θ)2＝1＋2sinθθ，∴＝1＋解得m＝1±又Δ＝4m－16m≥0或m≥4＝1－故选 已知αcosα＝且＜α＜则α－α的值是________．解：∵＜α＜α＞α.∵1－2αcosα＝(α－α)2＝α－α＝－故填－ ()已知△ABC中＝－则＝________．解：在△ABC中由＝－知∠A为钝角＋＝＝＝得＝－故填－ 　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　类型一　利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值　　　　　 　(1)已知α＝且α为第二象限角求nα；(2)已知α＝求α；(3)已知α＝m(m≠0)，求α. 解：(1)∵α＝且α是第二象限角α＝－＝－. ∴tanα＝＝－(2)∵sinα＝α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时α＝＝＝α＝＝；当α是第二象限角时anα＝－(3)∵sinα＝m(m≠0)， ∴cosα＝±＝±(当α为第一、四象限角时取正号当α为第二、三象限角时取负号)．当α为第一、四象限角时α＝；当α为第二、三象限角时α＝－解题时要注意角的取值范围分类讨论正确判断函数值的符号．　(1)设＝且α是第二象限角则的值为________．解：∵α是第二象限角是第一或第三象限角．当cos＝＝＝＝＝；当是第三象限角时与＝矛盾舍去．综上＝故填(2)已知α－α＝α∈(0，π)，则α＝________.解法一：由 得2α＋2α＋1＝0即(α＋1)＝0α＝－又α∈(0π)，∴α＝α＝＝－1.解法二：∵α－α＝(sinα－α)2＝2得α＝－1.∵α∈0，π)，∴2α∈(0，2π)，2α＝α＝α＝－1.故填－1.类型二　诱导公式的运用　(1)()已知＝则＝________.解：∵＋＝＝＝＝故填(2)化简解：原式＝＝－α. 【点拨】①三角式的化简通常先用诱导公式将角度统一后再用同角三角函数关系式这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题也是高考常考的问题要予以重视．　(1)化简(π＋α)－(π＋α)·(－α)＋1.解：原式＝α－(－α)·cosα＋1＝α＋α＋1＝2.(2)()已知＝则＝________.解：∵＋＝π＝－＝－＝－故填－类型三　关于α，cosα的齐次式问题　已知＝－1求下列各式的值．(1)；　(2)α＋αcos