2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式与诱导公式学案 理 北师大版.doc

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式 最新考纲 考情考向分析 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x． 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力．题型为选择题和填空题，低档难度. 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α(α≠＋kπ，k∈Z)． 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 知识拓展 1．同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α. 2．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　) (2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　×　) 题组二　教材改编 2．若sin α＝，απ，则tan α＝ . 答案　－ 解析　∵απ， ∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝＝－. 3．已知tan α＝2，则的值为 ． 答案　3 解析　原式＝＝＝3. 4．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ． 答案　－sin2α 解析　原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α. 题组三　易错自纠 5．(2017·贵阳模拟)已知sin αcos α＝，且α，则cos α－sin α的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　∵＜α＜， ∴cos α＜0，sin α＜0且cos αsin α， ∴cos α－sin α＞0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝， ∴cos α－sin α＝. 6．已知sin(π－α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的值为(　　) A．－ B. C．± D. 答案　B 解析　sin(π－α)＝sin α＝log8＝－， 又α∈，得cos α＝＝， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝. 7．(2017·枣庄模拟)已知cos α＝，－α0，则的值为 ． 答案　 解析　∵－α0， ∴sin α＝－ ＝－， ∴tan α＝－2. 则＝ ＝－＝＝. 题型一　同角三角函数关系式的应用 1．(2017·长沙模拟)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　因为α是第四象限角，sin α＝－， 所以cos α＝＝， 故tan α＝＝－. 2．(2017·安徽江南十校联考)已知tan α＝－，则sin α·(sin α－cos α)等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　sin α·(sin α－cos α)＝sin2α－sin α·cos α ＝＝， 将tan α＝－代入， 得原式＝＝. 3．(2018·贵州七校联考)已知sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为(　　) A．－1 B．－2 C. D．2 答案　D 解析　∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝2， ∴sin αcos α＝. ∴tan α＋＝＋＝＝2. 思维升华 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 题