2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式与诱导公式学案 理 北师大版.doc
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§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
最新考纲 考情考向分析 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题,常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用,强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力.题型为选择题和填空题,低档难度.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:=tan α(α≠+kπ,k∈Z).
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限
知识拓展
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;
sin α=tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( × )
(2)若α∈R,则tan α=恒成立.( × )
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( × )
(4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sin α=.( × )
题组二 教材改编
2.若sin α=,απ,则tan α= .
答案 -
解析 ∵απ,
∴cos α=-=-,
∴tan α==-.
3.已知tan α=2,则的值为 .
答案 3
解析 原式===3.
4.化简·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为 .
答案 -sin2α
解析 原式=·(-sin α)·cos α=-sin2α.
题组三 易错自纠
5.(2017·贵阳模拟)已知sin αcos α=,且α,则cos α-sin α的值为( )
A.- B.
C.- D.
答案 B
解析 ∵<α<,
∴cos α<0,sin α<0且cos αsin α,
∴cos α-sin α>0.
又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,
∴cos α-sin α=.
6.已知sin(π-α)=log8,且α∈,则tan(2π-α)的值为( )
A.- B.
C.± D.
答案 B
解析 sin(π-α)=sin α=log8=-,
又α∈,得cos α==,
tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-=.
7.(2017·枣庄模拟)已知cos α=,-α0,则的值为 .
答案
解析 ∵-α0,
∴sin α=- =-,
∴tan α=-2.
则=
=-==.
题型一 同角三角函数关系式的应用
1.(2017·长沙模拟)已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α等于( )
A.- B. C.- D.
答案 C
解析 因为α是第四象限角,sin α=-,
所以cos α==,
故tan α==-.
2.(2017·安徽江南十校联考)已知tan α=-,则sin α·(sin α-cos α)等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 sin α·(sin α-cos α)=sin2α-sin α·cos α
==,
将tan α=-代入,
得原式==.
3.(2018·贵州七校联考)已知sin α+cos α=,则tan α+的值为( )
A.-1 B.-2 C. D.2
答案 D
解析 ∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=2,
∴sin αcos α=.
∴tan α+=+==2.
思维升华 (1)利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号;利用=tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
题
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