核按钮2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) 4.7 正弦定理、余弦定理及其应用习题 理.doc

§4.7　正弦定理、余弦定理及其应用 1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等即．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：＝2R＝__________＝__________；＝＝＝；＝______________________.余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即＝_______________＝_______________＝.若令C＝90则c＝即为勾股定理．(2)余cosA＝_______________＝_______________＝_______________若C为锐角则即a＋b；若C为钝角则即a＋b故由a＋b与c值的大小比较可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________余弦定理亦可以写成＝＋－2类似地＝___________；＝__________.注意式中隐A＋B＋C＝π解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边用____________定理只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角用____________定理可能有____________________．如在△ABC中已知a和A时解的情况如表：为锐角 A为钝角或直角 图形 关a＝b解的个数 ①　　　　 ②　　　　 ③　　　　 ④　　　　(3)已知三边用____________定理．有(4)已知两边及夹角用____________定理必有一解．三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S＝____________＝____________＝____________＝____________＝____________其中R分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π则A＝_____________＝_____________从而＝____________＝_______________＝_______________；＝________________＝________________＝________.tanA＋＋＝______________.(3)若三角形三边a成等差数列则2b＝____________＝____________＝?2cos＝?tantan＝(4)在△ABC中＝b＋c＝____________＝____________.(此定理称作“射影定理”亦称第一余弦定理)自查自纠(1)＝＝＝2R(2)①2RsinB　2R　②　(1)b2＋c－2bc　c＋a－2ca＋b－2ab　a2＋b(2)　　　　 (3)互化　＋－2in2A＋－2(1)正弦　(2)正弦　一解、两解或无解　①一解两解　③一解　④一解　(3)余弦　(4)余弦(1)absinC　　　　(a＋b＋c)r(2)π－(B＋C)　－　(B＋C)　－(B＋C)－(B＋C)　　　 tanAtanBtanC　(3)a＋c　＋(4)acosC＋c　a＋b 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ()在△ABC中角A对应的边分别为a则“a≤b”是“的(　　)充分必要条件 ．充分非必要条件必要非充分条件 ．非充分非必要条件解：在△ABC中由正弦定理可得＝即＝注意到asinB均为正数则a≤b亦即“a≤b”是“的充分必要条件．故选 在△ABC中已知b＝6＝10＝30则解此三角形的结果有(　　)无解 ．一解两解 ．一解或两解解：由正弦定理知C＝＝又由cbc知有两解．也可依已知条件画出△ABC由图知有两解．故选 ()设△ABC的内角A, 所对的边分别为a, 若b＋c＝a则△ABC的形状为(　　)锐角三角形 ．直角三角形钝角三角形 ．不确定解：由已知和正弦定理可得C＋＝即(B＋C)＝亦即＝π，∴sinA＝1＝为直角三角形．故选 ()在△ABC中＝4＝5＝6则＝________.解：＝＝＝＝1.故填1. ()在△ABC中角A所对的边分别为a已知A＝＝1＝则B＝________.解：由正弦定理得＝＝＞a＞A＝或故填或 　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　类型一　正弦定理 　△ABC的内角A的对边分别为a已知A－C＝90＋c＝则C＝________.解：由a＋c＝及正弦定理可得＋＝又由于A－C＝90＝180－(A＋C)故＋＝＋＝(A＋C)sin(90°＋2C)＝(45°＋C)．sin(45°＋C)＝2(45°＋C)(45°＋C)即(45°＋C)＝又∵0＜C＜90＋C＝60＝15故填15利用正弦定理将边的关系转化为角的关系这是解此题的关键．　()在△ABC中内角A所对的边分别是a若3a＝2b则的值为(　　)－ C．1 D. 解：由正弦定理得＝－1＝2－1＝2×－1＝故选类型二　余弦定理的应用