【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.7正弦定理、余弦定理理课案.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理 理 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A； 变形 b2＝c2＋a2－2accos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (4)asin B＝bsin A， bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r. 3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Aab a≥b ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　√　) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　×　) (4)当b2＋c2－a20时，三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a20时，三角形为钝角三角形．(　×　) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　√　) 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝________. 答案　 解析　由sin A＝，sin B＝，sin C＝，代入整理得：＝c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cos B＝，所以B＝. 2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为________． 答案　 解析　因为S＝×AB×ACsin A ＝×2×AC＝，所以AC＝1， 所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3， 所以BC＝. 3．(2015·北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________. 答案　1 解析　由余弦定理： cos A＝＝＝， ∴sin A＝， cos C＝＝＝， ∴sin C＝，∴＝＝1. 4．在△ABC中，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为________三角形． 答案　直角 解析　由已知得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A， ∴sin A＝sin2A， 又sin A≠0，∴sin A＝1，A＝， ∴△ABC为直角三角形． 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋bsin C－a－c＝0，则角B＝________. 答案　 解析　由正弦定理知， sin Bcos C＋sin Bsin C－sin A－sin C＝0. ∵sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 代入上式得sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0. ∵sin C＞0，∴sin B－cos B－1＝0， ∴2sin＝1，即sin＝. ∵B∈(0，π)，∴B＝. 题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1　(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有________个． (2)在△ABC中，已知sin A∶sin B＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角A，B，C的度数依次是________． (3)(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________. 答案　(1)2　(2)45°，30°，105°　(3)1 解析　(1)∵bsin A＝×＝，∴bsin Aab. ∴满足条件的三角形有2个． (2)由题意知a＝b，a2＝b2＋c2－2bccos A， 即2b2＝b2＋c2－2bccos A， 又c2＝b2＋bc， ∴cos A＝，A＝45°，sin B＝， 又AB，∴B＝30°，∴C＝105°. (3)因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝. 又C＝，B＋Cπ，所以B＝，A＝π－B－C＝. 又a＝，由正弦定理得＝，即＝， 解得b＝1. 思维升华　(1)判断三角形解的个数的两种方法 ①代