2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理和余弦定理学案 理 北师大版.doc

§4.6　正弦定理和余弦定理 最新考纲 考情考向分析 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度. 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； asin B＝bsin A， bsin C＝csin B， asin C＝csin A (4)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Aab a≥b ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 知识拓展 1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π； 变形：＝－. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin . 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　√　) (3)当b2＋c2－a20时，三角形ABC为锐角三角形．(　×　) (4)在△ABC中，＝.(　√　) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　√　) 题组二　教材改编 2．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 ． 答案　等腰三角形或直角三角形 解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， 即A＝B或A＋B＝， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为 ． 答案　2 解析　∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°， ∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2. 题组三　易错自纠 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcos A，则△ABC为(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 答案　A 解析　由已知得sin Csin Bcos A， ∴sin(A＋B)sin Bcos A， ∴sin A·cos B＋cos A·sin Bsin B·cos A， 又sin A0，∴cos B0，∴B为钝角， 故△ABC为钝角三角形． 5．(2018·桂林质检)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 答案　C 解析　由正弦定理得＝， ∴sin B＝＝＝1. ∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在． 6．(2018·包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝ . 答案　 解析　由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a， 所以a＝b，c＝b， 所以cos C＝＝＝－. 因为C∈(0，π)，所以C＝. 题型一　利用正、余弦定理解三角形 1．(2016·山东)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， ∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cos A)，又∵a2＝2b2(1－sin A)， ∴cos A＝sin A，∴tan A＝1， ∵A∈(0，π)，∴A＝，故选C. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，