2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 两角和与差及二倍角的三角函数 第2课时学案 理 北师大版.doc
文本预览下载声明
第2课时 简单的三角恒等变形
题型一 三角函数式的化简
1.(2017·湖南长沙一模)化简:= .
答案 4sin α
解析 =
==4sin α.
2.化简:= .
答案 cos 2x
解析 原式=
=
=
==cos 2x.
3.(2018·聊城模拟)已知cos=,θ∈,则sin= .
答案
解析 由题意可得,cos2==,cos=-sin 2θ=-,即sin 2θ=.
因为cos=0,θ∈,
所以0θ,2θ∈,
根据同角三角函数基本关系式,可得cos 2θ=,
由两角差的正弦公式,可得
sin=sin 2θcos -cos 2θsin
=×-×=.
4.已知α为第二象限角,且tan α+tan=2tan αtan-2,则sin= .
答案 -
解析 由已知可得tan=-2,
∵α为第二象限角,
∴sin=,cos=-,
则sin=-sin
=-sin
=cossin-sincos
=-.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
题型二 三角函数的求值
命题点1 给角求值与给值求值
典例 (1)(2018·太原质检)[2sin 50°+sin 10°(1+·tan 10°)]·= .
答案
解析 原式=·
sin 80°=·
cos 10°=2[sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos(60°-10°)]
=2sin(50°+10°)=2×=.
(2)已知cos=,α,则的值为 .
答案 -
解析 =
=
=sin 2α=sin 2α·tan.
由α得α+2π,
又cos=,
所以sin=-,tan=-.
cos α=cos=-,sin α=-,
sin 2α=.
所以=×=-.
(3)(2017·合肥联考)已知α,β为锐角,cos α=,sin(α+β)=,则cos β= .
答案
解析 ∵α为锐角,∴sin α==.
∵α,β∈,∴0α+βπ.
又∵sin(α+β)sin α,∴α+β,
∴cos(α+β)=-.
cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-×+×==.
命题点2 给值求角
典例 (1)设α,β为钝角,且sin α=,cos β=-,则α+β的值为( )
A. B.
C. D.或
答案 C
解析 ∵α,β为钝角,sin α=,cos β=-,
∴cos α=-,sin β=,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=0.
又α+β∈(π,2π),∴α+β∈,
∴α+β=.
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β的值为 .
答案 -
解析 ∵tan α=tan[(α-β)+β]
=
==0,
∴0α.
又∵tan 2α===0,
∴02α,
∴tan(2α-β)=
==1.
∵tan β=-0,
∴βπ,-π2α-β0,
∴2α-β=-.
引申探究
本例(1)中,若α,β为锐角,sin α=,cos β=,则α+β= .
答案
解析 ∵α,β为锐角,∴cos α=,sin β=,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=.
又0α+βπ,∴α+β=.
思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法.
(2)给值求角问题:先求角的某一三角函数值,再求角的范围确定角.
跟踪训练 (1)已知α∈,且2sin2α-sin α·cos α-3cos2α=0,则= .
答案
解析 ∵α∈,且2sin2α-sin α·cos α-3cos2α=0,
则(2sin α-3cos α)·(sin α+cos α)=0,
又∵α∈,sin α+cos α0,
∴2sin α=3cos α,又sin2α+cos2α=1,
∴cos α=,sin α=,
∴
===.
(2)(2017·昆明模拟)计算:-= .
答案 -4
解析 原式====-4.
(3)定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0βα,则β= .
答案
解析 由题意有sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=,又0βα,∴0α-β,
故cos(α-β)==,
而cos α=,∴sin α=,
于是sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=×
显示全部