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2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 两角和与差及二倍角的三角函数 第2课时学案 理 北师大版.doc

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第2课时 简单的三角恒等变形 题型一 三角函数式的化简 1.(2017·湖南长沙一模)化简:= . 答案 4sin α 解析 = ==4sin α. 2.化简:= . 答案 cos 2x 解析 原式= = = ==cos 2x. 3.(2018·聊城模拟)已知cos=,θ∈,则sin= . 答案  解析 由题意可得,cos2==,cos=-sin 2θ=-,即sin 2θ=. 因为cos=0,θ∈, 所以0θ,2θ∈, 根据同角三角函数基本关系式,可得cos 2θ=, 由两角差的正弦公式,可得 sin=sin 2θcos -cos 2θsin =×-×=. 4.已知α为第二象限角,且tan α+tan=2tan αtan-2,则sin= . 答案 - 解析 由已知可得tan=-2, ∵α为第二象限角, ∴sin=,cos=-, 则sin=-sin =-sin =cossin-sincos =-. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征. (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点. 题型二 三角函数的求值 命题点1 给角求值与给值求值 典例 (1)(2018·太原质检)[2sin 50°+sin 10°(1+·tan 10°)]·= . 答案  解析 原式=· sin 80°=· cos 10°=2[sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos(60°-10°)] =2sin(50°+10°)=2×=. (2)已知cos=,α,则的值为 . 答案 - 解析 = = =sin 2α=sin 2α·tan. 由α得α+2π, 又cos=, 所以sin=-,tan=-. cos α=cos=-,sin α=-, sin 2α=. 所以=×=-. (3)(2017·合肥联考)已知α,β为锐角,cos α=,sin(α+β)=,则cos β= . 答案  解析 ∵α为锐角,∴sin α==. ∵α,β∈,∴0α+βπ. 又∵sin(α+β)sin α,∴α+β, ∴cos(α+β)=-. cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =-×+×==. 命题点2 给值求角 典例 (1)设α,β为钝角,且sin α=,cos β=-,则α+β的值为(  ) A. B. C. D.或 答案 C 解析 ∵α,β为钝角,sin α=,cos β=-, ∴cos α=-,sin β=, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=0. 又α+β∈(π,2π),∴α+β∈, ∴α+β=. (2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β的值为 . 答案 - 解析 ∵tan α=tan[(α-β)+β] = ==0, ∴0α. 又∵tan 2α===0, ∴02α, ∴tan(2α-β)= ==1. ∵tan β=-0, ∴βπ,-π2α-β0, ∴2α-β=-. 引申探究 本例(1)中,若α,β为锐角,sin α=,cos β=,则α+β= . 答案  解析 ∵α,β为锐角,∴cos α=,sin β=, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =×-×=. 又0α+βπ,∴α+β=. 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法. (2)给值求角问题:先求角的某一三角函数值,再求角的范围确定角. 跟踪训练 (1)已知α∈,且2sin2α-sin α·cos α-3cos2α=0,则= . 答案  解析 ∵α∈,且2sin2α-sin α·cos α-3cos2α=0, 则(2sin α-3cos α)·(sin α+cos α)=0, 又∵α∈,sin α+cos α0, ∴2sin α=3cos α,又sin2α+cos2α=1, ∴cos α=,sin α=, ∴ ===. (2)(2017·昆明模拟)计算:-= . 答案 -4 解析 原式====-4. (3)定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0βα,则β= . 答案  解析 由题意有sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=,又0βα,∴0α-β, 故cos(α-β)==, 而cos α=,∴sin α=, 于是sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =×
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