2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 两角和与差及二倍角的三角函数 第2课时学案 理 北师大版.doc

第2课时　简单的三角恒等变形 题型一　三角函数式的化简 1．(2017·湖南长沙一模)化简：＝ . 答案　4sin α 解析　＝ ＝＝4sin α. 2．化简：＝ . 答案　cos 2x 解析　原式＝ ＝ ＝ ＝＝cos 2x. 3．(2018·聊城模拟)已知cos＝，θ∈，则sin＝ . 答案　 解析　由题意可得，cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝. 因为cos＝0，θ∈， 所以0θ，2θ∈， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝， 由两角差的正弦公式，可得 sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝×－×＝. 4．已知α为第二象限角，且tan α＋tan＝2tan αtan－2，则sin＝ . 答案　－ 解析　由已知可得tan＝－2， ∵α为第二象限角， ∴sin＝，cos＝－， 则sin＝－sin ＝－sin ＝cossin－sincos ＝－. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 题型二　三角函数的求值 命题点1　给角求值与给值求值 典例 (1)(2018·太原质检)[2sin 50°＋sin 10°(1＋·tan 10°)]·＝ . 答案　 解析　原式＝· sin 80°＝· cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝2sin(50°＋10°)＝2×＝. (2)已知cos＝，α，则的值为 ． 答案　－ 解析　＝ ＝ ＝sin 2α＝sin 2α·tan. 由α得α＋2π， 又cos＝， 所以sin＝－，tan＝－. cos α＝cos＝－，sin α＝－， sin 2α＝. 所以＝×＝－. (3)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ . 答案　 解析　∵α为锐角，∴sin α＝＝. ∵α，β∈，∴0α＋βπ. 又∵sin(α＋β)sin α，∴α＋β， ∴cos(α＋β)＝－. cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝＝. 命题点2　给值求角 典例 (1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　) A. B. C. D.或 答案　C 解析　∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－， ∴cos α＝－，sin β＝， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈， ∴α＋β＝. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为 ． 答案　－ 解析　∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝ ＝＝0， ∴0α. 又∵tan 2α＝＝＝0， ∴02α， ∴tan(2α－β)＝ ＝＝1. ∵tan β＝－0， ∴βπ，－π2α－β0， ∴2α－β＝－. 引申探究 本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ . 答案　 解析　∵α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝. 又0α＋βπ，∴α＋β＝. 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法． (2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角． 跟踪训练 (1)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝ . 答案　 解析　∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0， 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0， 又∵α∈，sin α＋cos α0， ∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1， ∴cos α＝，sin α＝， ∴ ＝＝＝. (2)(2017·昆明模拟)计算：－＝ . 答案　－4 解析　原式＝＝＝＝－4. (3)定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0βα，则β＝ . 答案　 解析　由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0βα，∴0α－β， 故cos(α－β)＝＝， 而cos α＝，∴sin α＝， 于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×