2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 两角和与差及二倍角的三角函数 第1课时学案 理 北师大版.doc

§4.5　三角恒等变形 最新考纲 考情考向分析 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度. 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)) tan(α－β)＝(T(α－β)) tan(α＋β)＝(T(α＋β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝. 知识拓展 1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. 2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. 3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝ . 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　) (2)对任意角α都有1＋sin α＝2.(　√　) (3)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　×　) (4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　) 题组二　教材改编 2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　∵α是第三象限角， ∴sin α＝－＝－， ∴sin＝－×＋×＝－. 3．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案　 解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝. 4．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝ . 答案　 解析　∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝， ∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝－tan 20°tan 40°， ∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝. 题组三　易错自纠 5．化简：＝ . 答案　 解析　原式＝ ＝＝＝. 6．(2018·昆明模拟)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝ . 答案　 解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ ＝＝. 7．(2018·烟台模拟)已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝ . 答案　－ 解析　方法一　sin＝，得sin θ－cos θ＝，① θ∈，①平方得2sin θcos θ＝， 可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝， ∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－. 方法二　∵θ∈且sin＝， ∴cos＝， ∴tan＝＝，∴tan θ＝. 故tan 2θ＝＝－. 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一　和差公式的直接应用 1．(2018·青岛调研)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　A 解析　∵α∈，∴tan α＝－，又tan β＝－， ∴tan(α－β)＝ ＝＝－. 2．(2017·山西太原五中模拟)已知角α为锐角，若sin＝，则cos等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由于角α为锐角，且sin＝， 则cos＝， 则cos＝cos＝