2019届高考数学(北师大版文)复习讲义:第四章 三角函数、解三角形+4.5 两角和与差及二倍角的三角函数+第2课时+Word版含答案.doc
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第2课时 简单的三角恒等变形
题型一 三角函数式的化简
1.·等于( )
A.-sin α B.-cosα
C.sin α D.cosα
答案 D
解析 原式=
==cosα.
2.化简:=.
答案 cos 2x
解析 原式=
=
=
==cos 2x.
3.已知tan=,且-α0,则=.
答案 -
解析 由tan==,得tan α=-.
又-α0,所以sin α=-.
故=
=2sin α=-.
4.已知α为第二象限角,且tan α+tan=2tan αtan-2,则sin=.
答案 -
解析 由已知可得tan=-2,
∵α为第二象限角,
∴sin=,cos=-,
则sin=-sin
=-sin
=cossin-sincos
=-.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
一看角,二看名,三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
题型二 三角函数的求值
命题点1 给角求值与给值求值
典例 (1)(2018·合肥模拟)tan 70°·cos 10°(tan 20°-1)等于( )
A.1 B.2
C.-1 D.-2
答案 C
解析 tan 70°·cos 10°(tan 20°-1)
=·cos 10°
=·
===-1.
(2)已知cos=,α,则的值为.
答案 -
解析 =
=
=sin 2α=sin 2α·tan.
由α得α+2π,
又cos=,
所以sin=-,tan=-.
cosα=cos=-,sin α=-,
sin 2α=.
所以=×=-.
(3)(2017·合肥联考)已知α,β为锐角,cosα=,sin(α+β)=,则cosβ=.
答案
解析 ∵α为锐角,∴sin α==.
∵α,β∈,∴0α+βπ.
又∵sin(α+β)sin α,∴α+β,
∴cos(α+β)=-.
cosβ=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sin α
=-×+×==.
命题点2 给值求角
典例 (1)设α,β为钝角,且sin α=,cosβ=-,则α+β的值为( )
A. B. C. D.或
答案 C
解析 ∵α,β为钝角,sin α=,cosβ=-,
∴cosα=-,sin β=,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sin αsin β=0.
又α+β∈(π,2π),∴α+β∈,
∴α+β=.
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β的值为.
答案 -
解析 ∵tan α=tan[(α-β)+β]
=
==0,
∴0α.
又∵tan 2α===0,
∴02α,
∴tan(2α-β)=
==1.
∵tan β=-0,
∴βπ,-π2α-β0,
∴2α-β=-.
引申探究
本例(1)中,若α,β为锐角,sin α=,cosβ=,则α+β=.
答案
解析 ∵α,β为锐角,∴cosα=,sin β=,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sin αsin β
=×-×=.
又0α+βπ,∴α+β=.
思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法.
(2)给值求角问题:先求角的某一三角函数值,再求角的范围确定角.
跟踪训练 (1)已知α∈,且2sin2α-sin α·cosα-3cos2α=0,则=.
答案
解析 ∵α∈,且2sin2α-sin α·cosα-3cos2α=0,
则(2sin α-3cos α)·(sin α+cosα)=0,
又∵α∈,sin α+cosα0,
∴2sin α=3cos α,又sin2α+cos2α=1,
∴cosα=,sin α=,
∴
===.
(2)(2017·昆明模拟)计算:-=.
答案 -4
解析 原式====-4.
(3)定义运算=ad-bc.若cosα=,
=,0βα,则β=.
答案
解析 由题意有sin αcosβ-cosαsin β=sin(α-β)=,又0βα,∴0α-β,
故cos(α-β)==,
而cosα=,∴sin α=,
于是sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cosαsin(α-β)
=×-×=.
又0β,故β=.
题型三 三角恒等变形的应用
典例 (2017·浙江)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcosx(x∈R).
(1)求f的值;
(2)求f(x)的最小正周期及递增区间.
解 (1)由sin=,cos=-,得
f=2-2-2××=2.
(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcosx,得
f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2si
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