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【步步高】2016高考数学大一轮复习4.7正弦定理、余弦定理学案理苏教版课案.doc

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学案22 正弦定理和余弦定理 导学目标: 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 自主梳理 1.三角形的有关性质 (1)在△ABC中,A+B+C=____; (2)a+b____c,a-bc; (3)absin A____sin B?A____B; (4)三角形面积公式:S△ABC=ah=absin C =acsin B=____________________; (5)在三角形中有:sin 2A=sin 2BA=B或______________三角形为等腰或直角三角形; sin(A+B)=sin C,sin =cos . 2.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ________________=2R a2=____________, b2=____________, 2=____________变形 形式 ①a=________, b=________, c=________; ②sin A=________, sin B=________, sin C=________; ③a∶b∶c=________; ④= cos A=____________________; cos B=____________________; cos C=____________________ 解决 的问题 ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边. ②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角. ①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 自我检测 1.(2010·上海改编)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则a∶b∶c=________. 2.(2010·天津改编)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=________. 3.(2010·烟台一模)在△ABC中,A=60°,b=1,△ABC的面积为,则边a的值为________. 4.(2010·山东)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,sin B+cos B=,则角A的大小为________. 5.(2010·北京)在△ABC中,若b=1,c=,C=,则a=________. 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC中,a=,b=,B=45°,求角A、C和边c; (2)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,求边b和c. 变式迁移1 (1)在△ABC中,若tan A=,C=150°,BC=1,则AB=________; (2)在△ABC中,若a=50,b=25,A=45°,则B=________. 探究点二 余弦定理的应用 例2 已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边,且a2+c2-b2=ac. (1)求角B的大小; (2)若c=3a,求tan A的值. 变式迁移2 在△ABC中,a、b、c分别为A、B、C的对边,B=,b=,a+c=4,求a. 探究点三 正余弦定理的综合应用 例3 在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断该三角形的形状. 变式迁移3 (2010·天津)在△ABC中,=. (1)证明:B=C; (2)若cos A=-,求sin的值. 1.解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用,用到三角变换的基本方法,同时它是对正、余弦定理,三角形面积公式等的综合应用. 2.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,有可能出现一解、两解或无解的情况,应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况,作出正确取舍. 3.在解三角形中的三角变换问题时,要注意两点:一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理,二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法.“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口.(满分:90分) 一、填空题(每小题6分,共48分) 1.(2010·湖北改编)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B=________. 2.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,则·=________. 3.在△ABC中,sin2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为________. 4.(2011·苏州调研)在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为________. 5.(2010·湖南改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若C=120°,c=a,则a,b的大小关系
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