2014届高考数学一轮必备考情学案：4.7《正弦定理、余弦定理应用举例》_new重点分析.doc

第7讲　正弦定理、余弦定理应用举例 考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))． (2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 【例1】如图所示， 为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和ACD＝60°，BCD＝30°，BDC＝105°，ADC＝60°，试求AB的长． 解　在ACD中，已知CD＝a，ACD＝60°，ADC＝60°，所以AC＝a.BCD＝30°，BDC＝105°CBD＝45° 在BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a. 在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝＝a. 【1】 如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离． 解　在ACD中，DAC＝30°，ADC＝60°－DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1 km.又BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA. 又ABC＝15° 在ABC中，＝， 所以AB＝＝(km)， 同理，BD＝(km)． 故B、D的距离为 km.二　测量高度问题 【例2】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD. 如图，设CD＝x m， 则AE＝x－20 m， tan 60°＝， BD＝＝＝x (m)． 在AEC中，x－20＝x， 【2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD＝α，BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 解　在BCD中，CBD＝π－α－β， 由正弦定理得＝， 所以BC＝＝ 在RtABC中，AB＝BCtanACB＝. 三　正、余弦定理在平面几何中的综合应用 【例3】如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB＝5，AC＝9，BCA＝30°，ADB＝45°，求BD的长． 解　在ABC中，AB＝5，AC＝9，BCA＝30°.由正弦定理，得＝， sinABC＝＝＝. AD∥BC，BAD＝180°－ABC， 于是sinBAD＝sinABC＝. 同理，在ABD中，AB＝5，sinB AD＝， ADB＝45°，由正弦定理：＝， 解得BD＝.故BD的长为. 【3】 如图，在ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长． 解　在ADC中，AD＝10， AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得cosADC＝ ＝＝－，ADC＝120°，ADB＝60°. 在ABD中，AD＝10，B＝45°，ADB＝60°， 由正弦定理得＝， AB＝＝＝＝5. 重难点突破 【例】如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？ [解析] 如图，连接A1B2由已知A2B2＝10， A1A2＝30×＝10，A1A2＝A2B2. 又A1A2B2＝18