2013届高考数学总复习教学案：正弦定理和余弦定理的应用_new重点分析.doc

第八节正弦定理和余弦定理的应用 [知识能否忆起] 1．实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角： 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)． (2)方位角： 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角： 相对于某一正方向的水平角(如图3) 北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． 北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． 南偏西等其他方向角类似． 　　　 (4)坡度： 定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)． 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)． 2．解三角形应用题的一般步骤 (1)审题，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； (3)选择正弦定理或余弦定理求解； (4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求． [小题能否全取] 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是(　　) A．αβ　　　　　　　　　B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 答案：B 2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　) A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10° 解析：选B　如图所示， ACB＝90°， 又AC＝BC， CBA＝45°， 而β＝30°， α＝90°－45°－30°＝15°. 点A在点B的北偏西15°. 3.(教材习题改编)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB＝45°，CAB＝105°，则A、B两点的距离为(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 解析：选A　由正弦定理得 AB＝＝＝50(m)． 4．(2011·上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB＝75°，CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米． 解析：如图所示，由题意知C＝45°， 由正弦定理得＝， AC＝·＝. 答案： 5．(2012·泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行________海里． 解析：如图，由题意知在ABC中，ACB＝75°－60°＝15°，B＝15°，AC＝AB＝8. 在RtAOC中，OC＝AC·sin 30°＝4. 这艘船每小时航行＝8海里． 答案：8 　解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 测量距离问题 典题导入 [例1]　郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，C＝D. (1)求AB的长度； (2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)． [自主解答]　(1)在ABC中，由余弦定理得 cos C＝＝， 在ABD中，由余弦定理得 cos D＝＝， 由C＝D得cos C＝cos D. 解得AB＝7，所以AB的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用最低． 理由如下： 易知SABD＝AD·BDsin D，SABC＝AC·BCsin C， 因为AD·BDAC·BC，且C＝D， 所以SABDS△ABC. 故选择ABC的形状建造环境标志费用较低． 若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，试求最低造价为多少？ 解：因为AD＝BD＝AB＝7，所以ABD是等边三角形， D＝60°，C＝60°. 故SABC＝AC·BCsin C＝10， 所以所求的最低造价为5 000×10＝50 000 ≈86 600元． 由题悟法 求距离问题要注意： (1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 以题试法 1.如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得CAB＝105°，CBA＝