2026版步步高大一轮高考数学复习第四章 三角函数、解三角形第3节 和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式含答案.docx
2026版步步高大一轮高考数学复习第四章三角函数、解三角形第3节和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式第3节和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
考试要求1.会推导两角差的余弦公式.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,并会简单应用.
【知识梳理】
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α-β):
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
(2)公式C(α+β):
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
(3)公式S(α-β):
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;
(4)公式S(α+β):
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
(5)公式T(α-β):tan(α-β)=eq\f(tanα-tanβ,1+tanαtanβ);
(6)公式T(α+β):tan(α+β)=eq\f(tanα+tanβ,1-tanαtanβ).
2.辅助角公式
asinα+bcosα=eq\r(a2+b2)sin(α+φ),其中sinφ=eq\f(b,\r(a2+b2)),cosφ=eq\f(a,\r(a2+b2)).
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin2α=2sin__αcos__α.
(2)公式C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(3)公式T2α:tan2α=eq\f(2tanα,1-tan2α).
[常用结论与微点提醒]
1.两角和与差的公式的常用变形:
(1)sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ;
(2)cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ;
(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ),
tanαtanβ=1-eq\f(tanα+tanβ,tan(α+β))=eq\f(tanα-tanβ,tan(α-β))-1.
2.降幂公式:cos2α=eq\f(1+cos2α,2),sin2α=eq\f(1-cos2α,2),
tan2α=eq\f(1-cos2α,1+cos2α).
3.升幂公式:1+cos2α=2cos2α,
1-cos2α=2sin2α,
1±sin2α=(sinα±cosα)2.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.()
(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.()
(3)公式tan(α+β)=eq\f(tanα+tanβ,1-tanαtanβ)可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.()
(4)存在实数α,使tan2α=2tanα.()
(5)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.()
答案(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√
解析(3)变形可以,但不是对任意的α,β都成立,α,β,α+β≠eq\f(π,2)+kπ(k∈Z).
2.(必修一P223T2)已知sin(α-π)=eq\f(3,5),则cos2α=________.
答案eq\f(7,25)
解析sin(α-π)=-sinα=eq\f(3,5),故sinα=-eq\f(3,5),
所以cos2α=1-2sin2α=1-2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,5)))eq\s\up12(2)=eq\f(7,25).
3.计算:sin108°cos42°-cos72°sin42°=______.
答案eq\f(1,2)
解析原式=sin(180°-72°)cos42°-cos72°sin42°
=sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin(72°-42°)
=sin30°=eq\f(1,2).
4.若tanα=eq\f(1,3),tan(α+β)=eq\f(1,2),则tanβ=______.
答案eq\f(1,7)
解析tanβ=tan[(α+β)-α]
=eq\f(tan(α+β)-tanα,1+tan(α+β)tanα)=eq\f(\f(1,2)-\f(1,3),1+\f(1,2)×\f(1,3))=eq\f(1,7).
考点一公式的基本应用
例1(1)若cosα=-