2026版步步高大一轮高考数学复习第四章 §4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念含答案.docx
2026版步步高大一轮高考数学复习第四章§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念
§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念
课标要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念
定义
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形
分类
(1)按旋转方向分为正角、负角和零角；
(2)按终边位置分为象限角和轴线角
相反角
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为－α
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}
2.弧度制的定义及公式
定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad
弧度数公式
|α|＝lr(弧长用l表示，半径用r表示
角度与弧度的换算
1°＝π180rad；1rad＝180π
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝12lr＝12|α|
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sinα，x＝cosα，yx＝tanα(x
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r0)，那么sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝y
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.(×)
(2)第四象限的角一定是负角.(×)
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.(√)
(4)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关.(×)
2.角－863°的终边所在的象限是()
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案C
解析－863°＝－2×360°－143°，则－863°和－143°的终边相同，故角－863°的终边在第三象限.
3.一钟表的秒针长12cm，经过25s，秒针的端点所走的路线长为()
A.20cm B.14cm
C.10πcm D.8πcm
答案C
解析秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为2560×2π＝5π6，因此，秒针的端点所走的路线长为5π6×12＝10π
4.已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则sinα－cosα的值为.?
答案－3
解析因为sinα＝-21＋
cosα＝1
所以sinα－cosα＝－255－
1.熟记以下常用结论
(1)轴线角
(2)若角α∈0，π2，则sinαα
(3)α所在象限与α2
α所在象限
一
二
三
四
α2
一、三
一、三
二、四
二、四
2.谨防三个易误点
(1)角度与弧度换算的关键是πrad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用；
(2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
题型一角及其表示
例1(1)(2025·宁波模拟)若α是第二象限角，则()
A.－α是第一象限角
B.α2
C.3π2＋α
D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上
答案D
解析因为α是第二象限角，可得π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ－α－π2－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；对于B，可得π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，α2的终边在第一象限；当k为奇数时，α2的终边在第三象限，所以α2是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π＋2kπ3π2＋α5π2＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π3π2＋απ2＋2(k＋1)π，k∈Z，所以3π2＋α的终边在第一象限，所以3π2＋α是第一象限角，C错误；对于D，可得π＋4kπ2α2π＋
(2)如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为.?
答案α
解析方法一由于终边在y＝－x(x≤0)上的角的集合为ββ＝3π4＋2kπ，k∈Z，由于终边在x轴非正半轴上的角的集合为{γ|γ＝π＋
方法二在[0，2π)内，终边落在阴影部分内的角α的集合为3π4，π，所以所求角α
思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα，α