复习下(多元函数微分学).PPT

复习–3 多元函数微分学 实例分析 3. 设 5. 选择题 ( 6 - 9 ) 8. 设 f ( x , y ) 在点( a , b ) 偏导数存在 , 则 9. 函数 二. 多元函数微分法 实例分析 2. 设 3. 设 练习题: 设 5. 设 6. 设 7. 设变量x, y, z 满足方程 8. 设 三、多元函数微分法的应用 实例分析 2. 设曲面方程为 3. 求曲线 练习题：求曲线 4. 求点 ( 1, 2, 0 ) 到曲面 5. 求原点到曲面 6. 在曲面 7. 设长方体在第一卦限内,三面在坐标面上, 其一顶点 8. 曲面 8. 曲面 备用题 : 求函数 比较驻点与边界上的函数值 * 返回 上页 下页 结束 一. 多元函数微分学的基本概念 ?求定义域及复合函数式 ?求二元函数极限 ?偏导数及梯度的概念 ?连续、偏导、方向导数、可微之间的关系 (L. P228,4) 偏导数连续 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可 微 性 主要考点: 1. 函数 的定义域为 提示: 2. 提示: 0 填空题 ( 1 - 5 ) , 则 则 即 提示: 令 4. 设 则 提示: 1 处的梯度为 , 该点处各方向导数中的最大值是 提示: . 6. f ( x , y ) 在点 处偏导数 存在是 f ( x , y ) 在该点连续的 ( ) . (A) 充分条件但非必要 ; (B) 必要条件但非充分 ; (C) 充要条件 ; (D) 既非充分也非必要条件. D 处有两个偏导数是函数在该点 可微的( ) (A)充分条件; (B) 必要条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件 B 7. B 提示: 因为只要写结果 , 可直接用罗必塔法则找答案 原式 D 提示: 令 y = k x , 则 在点(0, 0)处( ). (A) 连续且可导; (B) 不连续且不可导; (C) 连续但不可导; (D) 可导但不连续. ( 03届考题) ?具体函数计算偏导数或微分 ?复合函数及隐函数求导 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性 1. 熟记导数及微分公式 注意: 主要考点: 1. 设 求 提示: 求 解: 求 解: ( 03届考题) 求 解: 在点 ( 0 , 1 ) 处 z = 2 , 利用微分形式不变性 4. 设 答案： (04届考题) 方法1. 方程两边直接对 x 求导； 方法2. 利用公式. 其中 求 解: 由方程 确定 , 其中F 可微 , 求 解: 得 其中f , g 具有连续偏导数, 解: 每个方程两端对 x 求导: 解得: 即 可微 , 且满足方程 试证 在极坐标系下只与 ? 有关 . 证 : 这说明 在极坐标系下与 r 无关 , 只与 ? 有关 1.在几何中的应用 求曲线的切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题 主要考点: 1. 设曲面的方程为 证明曲面在任意点 解: 令 则曲面在点 M 的法向量为 而 故 的法线与向量 OM 垂直 . 证明曲面上任一 点处的切平面在三坐标轴上的截距之和为常数 . 证明: 曲面在任一点 处的法向量为 即 则在坐标轴上的截距之和为 切平面方程为 在点M(1,-1,2) 处的 切线方程与法平面方程. ( 03届期中考题) 解: 法平面方程: 即 切线方程: 在点(1, 1, 1)处的 切线方程及法平面方程. ( 02届期中考题) 解: 在点(1, 1, 1)处的法向量为 的法向量 因此曲线在点(1,1,1)处的切向量为 ? 切线方程为 法平面方程为 即: 的距离 . 解: 问题为 ( 条件 ) 设 令 解得 此两点到曲面的距离为 故 为最小 . 的最短距离. 提示: , 作拉格朗日函数: 解得 原点到 该曲面的最短距离存在, 故 即为所求最短距离. 上求出一点 M , 使 沿着点 的方向导数具有最大值 . 解: 其方向余弦为 则问题为 ( 条件 ) 设 到 解得 经验证 为最大值 . 令 解: 设长方体在已知平面上的顶点为 在平面 上 , 求长方体的最大体积 . 则 且满足条件 设 令 则得唯一驻点 由实际意义知 练习题: