多元函数数微分学.ppt

多元函数微分学 第一节多元函数的极限及连续性 第二节偏导数 第三节全微分 第四节多元复合函数微分法及偏导数 的几何应用 第五节多元函数的极值 第一节多元函数的极限及连续性 多元函数 、二元函数的极限与连续性 第一节多元函数的极限及连续性 多元函数 1实例分析 例1设矩形的边长分别x和y,则矩形的面 积S为S=xy 在此,当x和y每取定一组值时,就有一确定的面 积值S.即S依赖于x和y的变化而变化 例2具有一定质量的理想气体,其体积为V,压强 为P,热力学温度T之间具有下面依赖关系P=R7(R 是常数) 在这一问题中有三个变量P,V,T,当V和T每取 定为一组值时,按照上面的关系,就有一确定的压强P 1.二元函数的定义 定义1(二元函数)设有三个变量x,y和,如果 当变量x,y在它们的变化范围D中任意取定一对值时 变量z按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们 对应,则称z为变量x,y的二元函数,记为x=f(x,y), 其中x与y称为自变量,函数z也叫因变量.自变量 x与y的变化范围D称为函数z的定义域 区域的概念:由一条或几条光滑曲线所围成的具有连 通性(如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部 分平面的折线连结起来,这样的部分平面称为具有连通性 的部分平面,这样的部分平面称为区域.围成区域的曲线 称为区域的边界,边界上的点称为边界点,包括边界在内 的区域称为闭域,不包括边界在内的区域称为开域 如果一个区域D内任意两点之间的距离都不超过某 常数M,则称D为有界区域,否则称D为无界区域 常见区域有矩形域:axb,cyd, 圆域:(x-x0)2+(y-y0)262(60) 圆域{x,y)(x-x0)2+(y-y)262}一般称为平面 上点B0(x0,y)的δ邻域,而称不包含点P0的邻域为无 心邻域 二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域,二元函数定义域的求法与一元函 数类似,就是找使函数有意义的自变量的范围,其定义 域的图形一般由平面曲线围成 例4求二元函数z=a2-x2-y2的定义域 解由根式函数的定义容易知道,该函数的定义域 为满足x2+y2≤a2的x,y,即定义域为 D={xy)lx2+y2≤a2 这里D在xOy面上表示一个以原点为圆心,a为半 径的圆域.它为有界闭区域(如下图所示) a r 例5求二元函数z=1n(x+y)的定义域 解自变量x,y所取的值必须满足不等式x+y0 即定义域为 D={(x,y)x+y0} 点集D在xOy面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x+y=0),如下图所示,此时D为无界开区域 O 例6求二元函数z=ln(9 的定 义域 解这个函数是由n9-x2-y2)和√x2+y2-1两部 分构成,所以要使函数z有意义,x,y必须同时满足 y0 +y2-1≥0, 即1≤x2+y29,函数定义域为 D={(x,y)1≤x2+y29点集D 在xOy平面上表示以原点为圆 心,半径为3的圆与以原点为 圆心的单位圆所围成的圆环 域(包含边界曲线内圆x2+y2=1, 但不包含边界曲线外圆x+y=9) (如右图所示) 2二元函数的几何表示 把自变量x,y及因变量z当作空间点的直角坐标,先在 y平面内作出函数z=f(x,y)的定义域D(如下图),再 过D域中的任一点M(x,y)作垂直于xOy平面的有向线段 MP,使P点的竖坐标为与(x,y)对应的函数值z.当M点在 D中变动时,对应的P点的轨迹就是函数乙=f(x,y)的几何 图形,它通常是一张曲面,而其定义域D就是此曲面在 xOy平面上的投影 M D 例7作二元函数z=1-x-y的图形 解二元函数z=1-x-y的图形是空间一平面,其图 形如下图所示