多元函数的微分学习题.doc

PAGE PAGE 1 计算题 81.已知，求. 解： 同理. 82.已知，求.（中等难度） 解： 由对称性可知： . 83.已知，求.（中等难度） 解：， . 84.已知， 求.（中等难度） 解：， . 85. 设，求在点（2，）处的偏导数. （中等难度） 解：因为 所以 86. 已知，求. 解 ，. 87.已知 ， 求.（中等难度） . 88. 已知，求.（中等难度） 解：由于 . 89.已知，求.（高难度） 解：当时 = 当时 因此 .同理得. 90.已知，求.（中等难度） 解；， ，. 91. 已知，求. 解 92.已知，求，.（中等难度） 解：由于 于是，. 93.已知，求，.（中等难度） 解：由于 于是 ，. 94.已知，求，.（中等难度） 解：由于 于是 95.已知，求，.（中等难度） 解：由于 于是 . 96.已知，求，.（中等难度） 解：由于 于是 ， . 97.已知，求，.（中等难度） 解：由于 ， 于是 98. 已知.（中等难度） 解： 99. 设有二阶偏导数. 解 记，有 100. 求函数的全微分. 解 因为 且它们是连续的，故由全微分公式得 . 101.求函数的全微分. 解：因为 且它们是连续的，故由全微分公式得 . 102.求函数的全微分. 解：因为 且它们是连续的，故由全微分公式得 . 103. 求函数的全微分. 解：因为 且它们是连续的，故由全微分公式得 . 104. 求函数的全微分. 解：因为 且它们是连续的，故由全微分公式得 105. 求函数的全微分（中等难度） 解 ，， 且它们连续，故由全微分公式得 . 106. 设 解： 注：此题也用求出.即求全微分的一般方法：一种是先求，再写出；另一种是直接利用全微分的四则运算法则及微分形式的不变性来求全微分. 107. 已知 ， 求.（中等难度） 解 ：因为 故 108. 已知，求.（中等难度） 解：设而 109.设，而 ，求 .（中等难度） 解： 110. 设，而，求. 解： 111.设，而 ，求. 解： = = 112. 设，而 ，求. 解： =. 113. 设，而，求.（中等难度） 解：=+ =. 114. 求函数 的一阶偏导数. （高难度） 解 令，则 . 由于 而.应用复合函数求偏导数的公式得 =； 同理可得 =. 115. 求复合函数 的一阶偏导数，其中具有连续的一阶偏导数. （高难度） 解：. 116.求复合函数的二阶偏导数，其中具有连续的二阶偏导数. （高难度） 解 ， 117. 求的一阶偏导数.（中等难度） 解: 设 , 则 118.设 .求，.（中等难度） 解: 119. 解： 120. 已知 . 解： 121.已知 解： 122.求由方程 所确定的隐函数的一阶偏导数（中等难度） 解：令，则， 故 123. 求由 所确定的函数在点 （1，2，－1）的偏导数. （中等难度） 解 设，则，， ，所以 . 124．所确定的函数，求.（中等难度） 解 ： 令， 则 于是 ，， 125. 所确定的函数，求 解： . 二、解答题 126. 求函数 的极值. 解: 解方程组 , 得驻点 . 因为 因此， ，故（2，-2）为极值点，又由于，所以（2，-2）为极大值点，其极大值为 . 127. 求函数 的极值. 解: 解方程组 , 得驻点 . 因为 因此， ，故（，-1）为极值点，又由于，所以 （，-1）为极小值点，其极小值为 . 128 求函数的极值. （中等难度） 解 ：由得驻点（5，2） 故点（5，2）为的极小值点，极小值（5，2）=30 129.求函数 的极值. 解：由得驻点（1，1） ， ， 在点（1，1）处无极值. 130.求函数 的极值. （中等难度） 解 求导得 ， 解方程组得驻点. 由于 ， 故 . 所以当时，取得极小值. 131.求在约束条件下的极值. （中等难度） 解 约束条件可写成 作拉格朗日函数 解方程组 得驻点 ， ， 根据所给函数的几何特征可知点（，）为函数的极小值点，极小值为. 132. 求在约束条件下的极值. （中等难度） 解 约束条件可写成 作拉格朗日函数 解方程组 得驻点 ， ， 根据可知点（，）为函数的极大值点，极大值为 . 133.求二元函数 在由直线轴和轴所围成的闭区域上的极值，最大值与最小值.（高难度） 解 由极值存在的必要条件 解方程组得驻点（2，1）， 又， 因此在点（2，1）处取得极大值4. 所以点（4，2）是边界上的极小值点，极小值为－64. 比较得最大值为4，最小值为－64. 三、应用题 134.从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最