高数A习题课多元函数微分学.ppt

一、内容总结 例1. 若 例3. 证明函数 证明连续函数 例10. 设 解法2 * 课件制作：胡合兴 易学军 二、 作业讲析 三、 典型例题讲解 四、 练习题 一、 内容总结 1.多元函数的概念 2.多元函数的极限和连续性 A.极限的定义，二重极限和二次极限的区别 B.连续性 C.有界闭区域上连续函数的性质 3.偏导数的定义、计算以及几何意义 5.复合函数偏导数的链式法则 4.全微分的定义，形式不变性；可微和偏导数存在、偏导数连续，连续之间的关系 二、作业讲析 略 求 解: 三、典型例题讲解 * 例2 求极限 解 其中 证明函数 解: 同理 在（0,0）的两个二次极限存在，但二重极限不存在 但 特别取 得两个不同的极限0,1；故二重极限不存在。 * 习题 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 说明 二重极限 存在要求点(x,y)在定义 域内沿任何路径以任何方式趋于点(x,y) 解: 在点（0,0）处关于x,y的偏导数存在，但在（0,0）点不连续 又 可见函数在（0,0）点极限不存在，更不连续但可偏导. 例4. 例5（1） 解 （2） （1） （2） 例6 设 其中 在点 连续，问 在什么条件下偏导数 解 利用偏导数定义讨论 要使上式极限存在，左右极限都应存在且相等。 当 时，只能 所以当 存在且 同理，当 存在且 例7 解 例8 设 讨论函数 在点 的可微性。 解 由 可微的定义，只要讨论极限 是否趋于0。 所以， 在点 处可微。 x,y的两个偏导数存在但并非可微分. 但 在（0,0）点关于 解: 显然与k值有关，故不存在 从而不可微分 同理 习题. 例9 解法1 利用全微分的定义 解法2 利用一阶全微分形式的不变性 于是 其中 f 与F分别具 解法1 方程两边对 x 求导, 得 有一阶导数或偏导数, 求 方程两边求微分, 得 化简 消去 即可得 *