高数多元函数微分学..ppt
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对于三元函数f(x? y? z)来说? 它在空间一点P0(x0? y0? z0)沿el?(cos? ? cos? ? cos?)的方向导数为 如果函数f(x? y? z)在点(x0? y0? z0)可微分, 则函数在该点沿着方向el?(cos? ? cos? ? cos?)的方向导数为 ? 例2 求f(x? y? z)?xy?yz?zx在点(1? 1? 2)沿方向l的方向导数? 其中l的方向角分别为60?? 45?? 60?? 解 与l同向的单位向量为 因为函数可微分? 且 所以 fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3? fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3? fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 二、梯度 梯度的定义 设函数z?f(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P0(x0? y0)?D, 都可确定一个向量 fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j? 这向量称为函数f(x, y)在点P0(x0? y0)的梯度, 记作gradf(x0? y0), 即 gradf(x0? y0)?fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j? 函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 二、梯度 梯度的定义 函数z?f(x, y)在点P0(x0? y0)的梯度: gradf(x0? y0)?fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j? 梯度与方向导数 ?|gradf(x0? y0)|?cos(gradf(x0? y0),^el)? 如果函数f(x? y)在点P0(x0? y0)可微分? el?(cos?? cos?)是与方向l同方向的单位向量, 则 提示? 梯度与等值线的关系 对于二元函数z?f(x? y)? xOy面上的曲线f(x, y)?c称为函数z?f(x, y)的等值线? 等值线f(x? y)?c是曲面z?f(x? y)被平面z?c所截得的曲线 在xOy面上的投影? 若fx? fy不同时为零? 则等值线f(x? y)?c上任一点P0(x0? y0)处的一个单位法向量为 这表明梯度grad f(x0? y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同, 对于二元函数z?f(x? y)? xOy面上的曲线f(x, y)?c称为函数z?f(x, y)的等值线? 若fx? fy不同时为零? 则等值线f(x? y)?c上任一点P0(x0? y0)处的一个单位法向量为 梯度与等值线的关系 而沿这个方向的方向导数等于|grad f(x0? y0)|? 于是 梯度与等值线的关系 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同? 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线? 梯度的模就等于函数在 这个法线方向的方向导数? 三元函数的梯度 设函数f(x, y, z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数, 函数f(x, y, z)在点P(x? y? z)的梯度grad f(x? y? z)定义为 grad f(x? y? z)?fx(x? y? z)i?fy(x? y? z)j?fz(x? y? z)k? 三元函数的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 函数f(x, y, z)在点P的梯度的方向与过点P的等量面f(x, y, z)?c在这点的法线的一个方向相同, 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面, 梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数. 提示? 曲面 f(x, y, z)?c称为函数u?f(x, y, z)的等量面. 于是 grad f(1, ?1, 2) 例4 设f(x, y, z)?x2?y2?z2, 求grad f(1, ?1, 2)? 解 grad f?(fx, fy, fz) ?(2x, 2y, 2z), ?(2, ?2, 4)? 数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的数量f(M), 则称在这空间区域G内确定了一个数量场. 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的向量F(M), 则称在这空间区域
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