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复变函数与积分变换练习一——解析函数.doc

发布:2018-05-07约1.04千字共7页下载文档
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复变函数与积分变换期末练习 一.解析函数 例1 指出下列函数的解析区域,并求导数: (1) (2) 例2 设在区域D内解析,且满足下列条件之一,试证在区域D内为常数. (1) 在区域D内解析; (2) 在区域D内为常数. 例3 设的解析函数,且有:,求函数. 例4 已知均为区域D内的调和函数,a,b为任意常数,试证:亦为区域D内的调和函数. 例5 计算下列各值: (1) ; (2) ; (3) . 例6 解下列方程: (1) 1+=0 (2) =0 二. 复变函数的积分 例7设在单连通域内解析,且满足(),试证: (1)在内处处有. (2)对内任一周线,有. 例8 计算积分其中C为不经过0及1点的简单闭曲线. 例9设在区域D内解析,C为D内任意一条正向简单闭曲线,它的内部全部含于D,试证:对于在D内但不在C上的任意一点,有: 例10设函数在 内解析,且 试计算积分 , 并由此得出积分 的值. 三. 解析函数的级数表示 例11 单项选择题: (1) 下列级数中,条件收敛的是( ). (A) (B) (C) (D) (2) 下列级数中,绝对收敛的是( ). (A) (B) (C) (D) (3) 若幂级数在z=1+2i处收敛,那末该级数在z=2处的敛散性为( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不确定 (4) 设在圆环域内的洛朗展式为,为内绕 的任意一条简单闭曲线,那么( ). (A)(B) (C) (D) 例12 设级数收敛,而级数发散,证明幂级数的收敛半径为1. 例13 设函数在圆域内解析, ,试证 (1) (2) 例14 求幂级数的和函数,并计算的值. 例15 将在点z=0,z=1展成洛朗级数. 四. 留数及其应用 例16 判断下列函数的孤立奇点的类型: (1) (2) (3) 例17(1)设z=a是函数的m阶零点,求:; (2)设z=a是函数的n阶极点,求:. 例18 若m,n为自然数,且试求函数 的留数. 例19 求在有限奇点处的留数. 例20 设a为的孤立奇点,试证:若是奇函数,则;若是偶函数,则. 例21 利用留数计算下列积分: (1) (2) (3) (4)
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