复变函数与积分变换练习一——解析函数.doc
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复变函数与积分变换期末练习
一.解析函数
例1 指出下列函数的解析区域,并求导数:
(1) (2)
例2 设在区域D内解析,且满足下列条件之一,试证在区域D内为常数.
(1) 在区域D内解析;
(2) 在区域D内为常数.
例3 设的解析函数,且有:,求函数.
例4 已知均为区域D内的调和函数,a,b为任意常数,试证:亦为区域D内的调和函数.
例5 计算下列各值:
(1) ; (2) ; (3) .
例6 解下列方程:
(1) 1+=0 (2) =0
二. 复变函数的积分
例7设在单连通域内解析,且满足(),试证:
(1)在内处处有.
(2)对内任一周线,有.
例8 计算积分其中C为不经过0及1点的简单闭曲线.
例9设在区域D内解析,C为D内任意一条正向简单闭曲线,它的内部全部含于D,试证:对于在D内但不在C上的任意一点,有:
例10设函数在 内解析,且 试计算积分
,
并由此得出积分 的值.
三. 解析函数的级数表示
例11 单项选择题:
(1) 下列级数中,条件收敛的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
(2) 下列级数中,绝对收敛的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
(3) 若幂级数在z=1+2i处收敛,那末该级数在z=2处的敛散性为( ).
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛
(C) 发散 (D) 不确定
(4) 设在圆环域内的洛朗展式为,为内绕 的任意一条简单闭曲线,那么( ).
(A)(B)
(C) (D)
例12 设级数收敛,而级数发散,证明幂级数的收敛半径为1.
例13 设函数在圆域内解析,
,试证
(1)
(2)
例14 求幂级数的和函数,并计算的值.
例15 将在点z=0,z=1展成洛朗级数.
四. 留数及其应用
例16 判断下列函数的孤立奇点的类型:
(1)
(2)
(3)
例17(1)设z=a是函数的m阶零点,求:;
(2)设z=a是函数的n阶极点,求:.
例18 若m,n为自然数,且试求函数
的留数.
例19 求在有限奇点处的留数.
例20 设a为的孤立奇点,试证:若是奇函数,则;若是偶函数,则.
例21 利用留数计算下列积分:
(1)
(2)
(3)
(4)
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