复变函数与积分变换 张翠莲 第2章 解析函数新.ppt

第2章 解析函数 2.1 复变函数的导数与微分 2.1.1 复变函数的导数 定义1 设函数 在包含 的某区域 内有定义，当变量 在点 处取得增量 时，相应地，函数 取得增量 若极限 （或 ） （2.1） 存在，则称 在点 处可导， 此极限值称为 在点 处的导数，记作 或 ，即 如果函数 在区域 内每一点都可导，则称 在 内可导. 例1 求函数 的导数（ 为正整数）. 解 因为 所以，由导数定义有 例2 求 的导数. 解 由例1 2.1.2 可导与连续的关系 若函数 在点 处可导，则 在点 处必连续. 证　因为 知 ，故 在点 处连续. 2.1.3 复变函数的微分 定义2 称函数 的改变量 的线性部分 为函数 在点 处的微分，记作 或 ，即 当 时， ，所以 在点 处的微分又可记为 亦即 由此可知，函数 在点 处可导与可微是等价的. 2.1.4 导数运算法则 复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）： （1） 其中 为复常数； （2） 其中 为正整数； （3） ； （6） ； （7） 是两个互为反函数的单值函数，且 . 例3 求下列函数的导数. （1） （2） 解 （1） （2） 例4 设 . 解 因为 所以 第2章 解析函数 2.2 解析函数的概念  2.2.1解析函数的定义及其性质 1. 解析函数的定义 定义3 如果函数 不仅在点 处可导，而且在点 的某邻域内的每一点都可导，则称 在点 处解析，并称点 是函数的解析点；如果函数 在区域 内每一点都解析，则称 在区域 内解析或称 为区域 内的解析函数，区域 称为的 解析区域. 如果 在点 处不解析，但在 的任一邻域内总有 的解析点,则称 为 的奇点. 例1 讨论函数 的解析性. 解 由例2知， 在整个复平面内处处 可导且 ，则由函数在某区域内解析 的定义可知，函数 在整个复平面上 解析. 2. 解析函数的运算性质： （1）若函数 和 在区域 内解析， 则 、 、 在 内也解析； （2）若函数 在区域 内解析，而 在区域