第九章.多元函数微分法.ppt

第八章 多元函数微分法及其应用 1. 多元函数的基本概念 2. 偏导数 3. 全微分及其应用 4. 多元复合函数的求导法则 5. 隐函数的求导公式 6. 微分法在几何上应用 7. 方向导数与梯度 8. 多元函数的极值及其求法 基本要求 1、理解多元函数的概念，了解二元函数的极限、连续性等概念及有界闭域上连续函数的性质； 2、理解偏导数、高阶偏导数和全微分的概念，了解偏导数的几何意义、全微分 存在的充分和必要条件和高阶混合偏导数与求导次序无关的条件； 3、掌握多元复合函数的求导法则，会求隐函数（包含由方程组确定的隐函数）的偏导数； 基本要求（续） 4、理解多元函数的极值和条件极值的概念，会求多元函数极值、最值，熟悉条件极值与拉格朗日乘数法； 5、熟悉空间曲线的切线方程、法平面方程的求法，熟悉曲面的切平面方程和法线方程的求法； 一、区域 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 * 主 要 内 容 （1）邻域 第一节 多元函数的基本概念 （2）区域 例如， 即为开集． 连通的开集称为区域或开区域． 例如， 例如， 有界闭区域； 无界开区域． 例如， （3）聚点（补充） 1. 内点一定是聚点； 说明： 2.边界点可能是聚点； 例 (0,0)既是边界点也是聚点． 3. 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如, (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如, 边界上的点都是聚点也都属于集合． （4）n维空间 1. n维空间的记号为 说明： 2. n维空间中两点间距离公式 3. n维空间中邻域、区域等概念 特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离． 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义． 邻域： 设两点为 （1）二元函数的定义 类似地可定义三元及三元以上函数． 二、多元函数概念 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 （2） 二元函数 的图形 （如下页图） 二元函数的图形通常是一张曲面. 例如, 图形如右图. 例如, 左图球面. 单值分支: 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 例2 求证 证 当 时， 原结论成立． 例3 求极限 解 其中 例4 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 不存在. 观察 确定极限不存在的方法： 利用点函数的形式有 定义3 例5 讨论函数 在(0,0)处的连续性． 解 取 故函数在(0,0)处连续. 当 时 例6 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续．