第九章 常微分方程.ppt

第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的一阶微分方程 齐次方程 练习： 第三节 一阶线性微分方程 练习： 二、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法 二、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法 练习： 习题9.4, 4. 练习： 小结 特征根的情况 通解的表达式 实根 实根 复根 解 特征方程为 故所求通解为 例1 例2 解 特征方程为 解得 故所求通解为 解 特征方程为 故通解为 例3 回顾 一阶线性微分方程 对应齐次方程的通解 非齐次方程特解 (1) (1) 对应齐次方程 (2) 定理2 那么方程(1)的通解为 问题归结为求方程(1)的一个特解. 只讨论 f (x)的两种类型. 用待定系数法求解. 则 综上讨论 设特解为 其中 代入原方程,或利用下式 来确定Q(x). 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例4 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入 原方程通解为 例5 得 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入 得 例6 可以证明,方程(1)具有如下形式的特解: 解 例7 所求通解为 解 例8 所求通解为 P154 习题9.4 2.(1)(3)(4)(5) 3.(4) 4. 非齐次线性方程的叠加原理 和 的特解, * 第九章 解 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 若未知函数是一元函数，称常微分方程，否则称偏微分方程. 本章只讨论前者. 方程中所含未知函数的导数的最高阶,称为微分方程的阶 . 一阶微分方程 高阶(n阶)微分方程 使方程成为恒等式的函数称微分方程的解. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 过定点的积分曲线; 一阶: 二阶: 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 为微分方程的通解. 两边积分, 为可分离变量的方程. 称 则 解 例1 解 或解 例2 为所求通解. 解 例3 解 例4 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 代入原式得 1.定义 两边积分即得通解. 注意：须将u代回. 解 例5 解 例6 P143 习题9.2 1.(1)(3)(5)(8) 2.(2)(3) 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 例如 线性的; 非线性的. 一、线性方程 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 使用分离变量法 2. 线性非齐次方程 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 作变换 积分得 所以一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程的通解 非齐次方程特解 解 例1 解 例2 解 例3 解法: 二、伯努利(Bernoulli)方程 求出通解后, 将 代入即得原方程的通解 . 代入上式 解 得原方程的通解为 例4 解 例5 P147 习题9.3 2.(1)(2)(3)(4) 3.(2)(4) 5. 第四节 二阶常系数线性微分方程 (1) 其中p,q是常数. 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 (2) 一、二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法 定理1 就是(2)的通解. (即线性无关), 则 (2) (3) 代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根. (3) * * *