第九章多元函数微分法2015.ppt

第九章 第五节 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数的求导方法 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 C 0 时, 能确定隐函数 C 0 时, 不能确定隐函数 2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题. 本节讨论: 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 连续且具有连续导数的函数 y = f (x) , 并有 (隐函数求导公式) ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内恒能唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 满足条件 例8 设 第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函数的极值及其求法 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 (极小值). 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令 则: 1) 当 A0 时取极大值; A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 且 例9. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值. 求二阶偏导数 在点(?3,0) 处 不是极值; 在点(?3,2) 处 为极大值. 在点(1,2) 处 不是极值; 二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小值 为最小值 (大) (大) 依据 例10. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. * * 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 常数和基本初等函数的导数 (上册P95) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广 第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用 第九章 第一节 多元函数的概念 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 多元复合函数的求导法则 第五节 隐函数求导公式 第八节 多元函数的极值及其求法 一、 区域 邻域 点集 称为点 P0 的? 邻域. 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 二、多元函数的概念 定义1. 设非空点集 点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 映射 称为定义 在 D 上的 n 元函数 , 记作 三、多元函数的极限 定义2. 设 n 元函数 点 , 则称 A 为函数 (也称为 n 重极限) 当 n =2 时, 记 二元函数的极限可写作： P0 是 D 的聚 若存在常数 A , 对一 记作 都有 对任意正数 ? , 总存在正数? , 切 例1. 求 四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数 定义在 D 上, 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 如果存在 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 则称 n 元函数 连续. 连续, 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续. 第二节 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 一、偏导数的定义及其计算法 定义1. 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 注意: 一、 偏导数定义及其计算法 同样可定义对 y 的偏导数 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 或 y 偏导数存在