[2018年最新整理]1-4复变函数的极限和连续.ppt

§1-4 复变函数的极限和连续 一、复变函数的极限 二、复变函数的连续性 定义：设函数 在复平面上已给点集E上确定，A为E 的一个聚点， 为一复常数，如果对任意 , 存在 ，使当 且 时，有 则称当z 在E 中趋于 时, 趋于极限A ，记作　　　 　　　　 复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即 定义：设函数 在复平面上已给点集E上确定， 为 E 的一个聚点，且 ，如果对任意 ，存在 ，使当 且 时，有 　　　　　　　　　　　　  则称函数 在 点连续 ，若 在E 中每一点都 连续，则称 在E连续. 定理：复变函数f(z)在点z0=x0+y0连续的充要条件是实部和虚部的两个二元函数在点(x0,y0)都连续。 与数学分析中的连续函数一样，我们可类似地证得以下定理 定理1 若函数 与函数 均在点 连续，则 和 在点 连续．进一步，如果 ，那么 在点 连续。　　　  定理2 函数 在简单曲线 或者有界闭区域 上连续，则 ⑴ 在它上为有界函数；　　 ⑵ 在它上能取到最大值与最小值；　　　　　 ⑶ 在它上一致连续，即对任意的 ,存在 ，使当 或者 且 时，有 定义：如果对于任给定常数 ，存在 ，使当 ， 时，有　　　　　　　　　　　　 则称当z在E 中趋于 时 趋于无穷大 ，记作 定义：如果对于任给定常数ε0 ，存在 ，使当 且 时，有　 则称当z 在E 中趋于无穷大 时 趋于 ，记作 函数在某点处连续性的判别 函数极限的求法和极限不存在的判别法 * z→z0的路径无穷，不能都列举 且 基本解法： (1)把函数f(z)化为形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y) (2)利用教材24页定理2判别u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)处是否连续 若都连续，则f(z)在z0连续 若不连续，则 f(z0)无意义，即u(x0,y0), v(x0,y0)至少一个不存在 不存在或存在但 只需验证 在某方向上 或存在某方向 时，有 或 证明argz在原点和负实轴不连续 由于 是分段定义的二元函数 当y0或y0时，显然是连续的。只要考虑y=0上的点函数argz是否连续即可。 (1)由于当x00时有 即当 且 时，函数的极限值等于在点(x0,0)处的函数值，此二元函数在点(x0,0)处连续，因此argz在正实轴连续。 (2) argz在z=0点无意义，因此不连续 所以分段定义的二元函数argz在y=0且x0这些点处不连续 (3) 在y＝0，x0的半直线上 可是 综上所述，argz在出去负实轴和原点的整个复平面上处处连续。 f(z)=|z|的连续性？ 是复变实值函数，是x,y的二元连续函数，因此在整个复平面上连续。 P26,4 证明函数f(z)=ln|z|+iarg(z)在原点和负实轴上不连续性。 方法1： 当容易看出f(z)在z0点连续时，可用函数在一点处连续的定义来求极限。即 方法2： 当不能判断f(z)在z0点是否连续时， 首先，把f(z)写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的形式。 然后，利用教材24页定理2，分别求两个函数u(x,y)和v(x,y)的极限，即 例 因为|z|在整个复平面上连续 P27,6 *