[2018年最新整理]1复变函数复习(s).ppt

* 复变函数与积分变换复习 考试安排 * 复变函数与积分变换复习 主要内容 考试安排 考试时间: 一、 2010 年 11 月 29 日 晚上 7:00 ~ 9:30 考试地点: (略) 二、 答疑时间: 2010 年 11 月 26 日 上午 下午 晚上 27 日 上午 下午 晚上 28 日 上午 下午 晚上 答疑地点: 科技楼南楼 813 室 计算数学系 29 日 上午 下午 晚上 主要内容 复数的几种表示及运算；区域，曲线；初等复变函数。 Cauchy - Riemann 方程：(1) 判断可导与解析，求导数； Fourier 变换的概念, δ函数，卷积。 Cauchy 积分公式，Cauchy 积分定理，高阶导数公式。 Laurent 展式。 留数：(1) 计算闭路积分； 保形映射：(1) 求象区域； 利用 Laplace 变换求解常微分方程(组) 。 (2) 构造解析函数。 (2) 计算定积分。 (2) 构造保形映射。 一、构造解析函数 问题 已知实部 u，求虚部 v (或者已知虚部 v，求实部 u )， 使 解析，且满足指定的条件。 注意 必须首先检验 u 或 v 是否为调和函数。 方法 偏积分法 全微分法 (略) 方法 偏积分法 一、构造解析函数 ( 仅考虑已知实部 u 的情形 ) (2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得： 其中， 已知，而 待定。 (3) 将 (C ) 式代入 (B ) 式，求解即可得到函数 (1) 由 u 及 C - R 方程 得到待定函数 v 的两个偏导数： (A) (B ) (C ) 二、将函数展开为洛朗级数 根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、 代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。 两个重要的已知展开式 2. 间接展开法 1. 直接展开法 (略) 二、将函数展开为洛朗级数 r 1 r 2 r 3 都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定 无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前， 注意 的展开区域 )分为若干个解析环。 比如 设函数的奇点为 展开点为 则复平面 被分为四个解析环： 则 特别，若 若 为 的可去奇点，则 法则 若 为 的本性奇点，则在 的邻域内展开为洛朗级数。 三、利用留数计算闭路积分 1. 计算留数 若 为 的 m 级极点，则 法则 注意 只需计算积分曲线 C 所围成的有限区域内奇点的留数。 三、利用留数计算闭路积分 2. 计算闭路积分 其中， 三、利用留数计算闭路积分 2. 计算闭路积分 要求 R(u, v) 是 u, v 的有理函数。 四、计算定积分 (2) 1. 方法 (1) 令 则 其中， 是 在 内的孤立奇点。 四、计算定积分 要求 (1) P (x) , Q(x) 为多项式， (2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高二次 , (3) 分母 Q(x) 无实零点。 2. 设 方法 则 其中， 是 在上半平面内的孤立奇点。 四、计算定积分 要求 (1) P (x) , Q(x) 为多项式， (2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次 , (3) 分母 Q(x) 无实零点。 3. 设 方法 则 其中， 是 在上半平面内的孤立奇点。 3. 四、计算定积分 要求 (1) P (x) , Q(x) 为多项式， (2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次 , (3) 分母 Q(x) 无实零点。 特别 (1) 预处理 工具：几种简单的分式映射、幂函数等。 五、构造保形映射 目标：使边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。 (2) 将区域映射为角形域或者带形域 方法：将边界的一个交点 映射为 ∞； z1 另一个(交)点 映射为 0 。 z2 [ ] 工具： 步骤 (一般) (3)