[2018年最新整理]2-1复变函数的导数.ppt

第二章 解析函数 §2-1 复变函数的导数 一Δ、导数的概念及其求导法则 二、微分的定义及其可微的充要条件 一Δ、导数的概念及其求导法则 1. 可微的概念 2. 充要条件 柯西——黎曼条件方程（C.— R.方程） 定理:设函数 在区域D内确定，则函数在点 可导的充分必要条件是：　　　 ⑴ 与 在 可微．　　　 ⑵ 在 的导数为 条件(*)常称为柯西—黎曼条件（C.— R.条件）． 推论：设 。若 和 在 的四个一阶偏导函数在点 均连续并且满足 C-R 方程，则 在点 处可导。 注意：1） 在点 可微等价于它在该 点可导。但不等价于其实部函数与虚部函数在点 可微。 2）一个二元实函数在某点可微的充分条件是： 它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而且是 连续。 判别可导性 Q 研究 在 的可导性。（说明在上面 定理中 的可微性不可去） Q 判别函数 的可导点。 例1? 试证函数 （n为自然数）在复平面上处处可导，且 用L’Hospital法则求 型的极限 A. L. Cauchy(柯西)简介 Riemann(黎曼)简介 * 任 群 北京理工大学理学院 本章首先介绍连续函数与函数导数的概念，重点研究解析函数，并探讨了解析函数与调和函数的关系，最后介绍几个基本的初等函数. (1) 导数的定义 注意 解 解 (2) 可导与连续的关系 函数f (z)在z0 处可导，则在z0 处一定连续, 但函数 f (z) 在z0 处连续不一定在z0 处可导. (3) 求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同，此处略. 求导公式与法则: 由此可以看出，复变函数的导数定义与一 元实函数的导数定义在形式上完全一样，它们 的一些求导公式与求导法则也一样。 然而，复变函数的导数要求极限存在与 变 量 z 趋于 z0 的方式无关, 这与二元实函数的极限 相一致，是否可以说明复变函数的导数就是两个 二元实函数的导数？ 上节例 2说明问题不是那么简单。 复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致。 复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？ 二、微分的定义及其可微的充要条件 令 则 且 反过来可容易证明 与一元函数类似地, 记 Cauchy-Rieman简介 P33,4(3) 判断函数f(z)=zRe(z)在哪些点可导，哪些点连续。 f(z)＝zRe(z)=x2+ixy，u=x2，v=xy f(z)在整个复平面连续 C-R方程2x=x，0=-y仅有解x=0且y=0，又因u(x,y),v(x,y)在点(0,0)可微，所以f(z)仅在点z=0处可导。 证? 用定义来证明．对于复平面上的任意一点 z ，由导数定义有　　　　 ??????????????????????????????????????????????????? 　　　　　　　　　　　　　　　 ????????????????????????????????????????????????????? 　　　　　　　　　　　　　　　 ????????? 于是， ???????????? 在点z的导数存在且等于? ?????? ． 由点 z 在复平面上的任意性，证得 ???????????? 在复平面上处处可导． 函数 ???????????? 在复平面解析． 例2? 设 ???????????????????????定义在复平面上，试证??????? 于复平面上仅在原点可导． 证　用定义来证明．若 ?????? ，则因　　　　　　　　　　　 ???????????????????? 　　　　　　　　　　　　　　 ?????????????????????????????